Andregradsfunksjoner 3

Tilbake til oversikten

Hugsereglar
Læreplanmål

Tips ein ven

Emne:

Funksjoner - Areal og omkrets av rektangler

Dette opplegget er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole"

Hensikt:

Å anvende kunnskapene fra de foregående oppleggene om andregradsfunksjoner
Å få en forståelse av hva som menes med kurvetilpasning

Du treng:

Kvadratiske brikker

PC med GeoGebra (eller liknende programvare)

Forklaring av opplegg:

La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig
arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler.

Opplegget går ut på at elevene lager ulike rektangler, alle med omkrets 24 enheter. En
enhet er sidelengden til én brikke. Målet er å komme fram til en funksjon som beskriver
arealet av rektangelet som en funksjon av rektangelets lengde. Elevene legger rektangler
med de kvadratiske brikkene, eventuelt kan de tegne rektangler på ruteark. (kopieringsoriginal med oppgaver)

Observasjonene samles i en tabell, der rektangelets lengde er x-verdien og arealet er
y-verdien. Elevene kan løse oppgaven med papir og blyant, eller de kan bruke GeoGebra.
Hvis de skal få nytte av det de lærte i opplegget «Andregradsfunksjoner – Å utforske
sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf», bør de bruke GeoGebra (eller liknende).

Avslutt med en oppsummering i plenum. Det er viktig at elevene utvikler en god forståelse
av begrepene toppunkt og gyldighetsområde. Legg også vekt på gode beskrivelser av hva
grafen forteller om rektanglene.

Differensiering
Oppgaven kan utfordre elever på ulike nivåer ved at ikke alle trenger å komme like langt
i utforskningen. For noen elever kan det være stor nok utfordring å komme fram til alle
punktene, plotte dem inn i et koordinatsystem, tegne en glatt, fin graf og se at den har
parabelform. Andre kan komme mye lenger i oppgaven.
Uansett er det viktig at samtlige elever er med på samtalen om sammenhengen med grafens
form og arealet av de ulike rektanglene. Elever på alle nivåer bør får se at en graf kan fortelle
noe om en konkret ting – og det er viktig at de ser hva grafen forteller i dette tilfellet.

Oppgave

Lag flere ulike rektangler som alle skal ha omkrets 24 enheter. Bruk kvadratiske brikker,
la sidekanten i en brikke ha lengden 1 enhet. Skisser de ulike rektanglene du lager, og sett mål på sidene.
Lag en tabell med to rader, der lengden av rektanglene skrives i den ene raden (x-verdi) og arealet i den andre raden (y-verdi).

Kommentar til læreren
Hvis dette er vanskelig for noen av elevene, kan du gi et hint ved å bruke et eksempel.
Vi skal bruke regresjon i GeoGebra:

Først må tabellverdiene legges inn i regnearket. Velg «Vis»og «Regneark». Skriv x-verdiene
fra tabellen ovenfor i den første kolonnen i regnearket og y-verdiene i den andre
kolonnen.

Marker så alle verdiene, høyreklikk og velg «Lag liste med punkter». I algebravinduet
kommer så listen opp, den heter «liste 1». Samtidig tegnes alle punktene inn
i koordinatsystemet.

Det neste du skal gjøre er å skrive «RegPoly[liste1,2]» i inntastingsfeltet.
Da får du det polynomet som passer best til punktene i liste1. 2-tallet viser at du ber
om et andregradspolynom. Polynomet kommer nå opp i algebravinduet som en funksjon
samtidig som grafen tegnes sammen med punktene.

Kommentar til læreren
Her må du som lærer vurdere om det er hensiktsmessig å bruke GeoGebra eller papir og
blyant. Med papir og blyant er det lettere å få tegnet en graf, men vi mister muligheten til å
få et funksjonsuttrykk. Hvis elevene ikke har mulighet til å klare overgangen fra å ha en rekke
punkter til å tegne en graf, er det kanskje bedre å bare få tegnet grafen på papir.
Merk: Elevene skal utforske og diskutere, og til slutt skal løsningene skrives. Det er en viktig
øving i å uttrykke seg skriftlig i matematikk.
Finn et funksjonsuttrykk som passer godt til punktene.

Kommentar til læreren
Elevene må bruke regresjon. For å velge riktig type funksjon må elevene gjenkjenne grafens form som parabel. De må vite at den hører sammen med en andregradsfunksjon. La de flinke elevene få sjansen til å finne ut mest mulig på egen hånd.
Hva forteller grafen om de ulike arealene vi kan lage av rektangler med omkrets 24 enheter?
Hva er funksjonens gyldighetsområde, dvs. hvilke verdier kan den fri variable, her lengden l, ha?

Kommentar til læreren
Spør elevene hva den minste og største mulige verdien til lengden av rektangelet kan være.
Gir det noen mening å bruke x-verdier utenfor disse størrelsene, for eksempel l = 20?
Lengden l av rektangelet kan ikke være mindre enn 0 og ikke større enn 12,
så gyldighetsområdet er intervallet eller 0

Forberedelse til oppsummering og oppsummering
På hvilke måter har elevene løst oppgavene? Har de brukt ulike strategier? Snakk med
elevene og hør hvordan de tenkte da de løste oppgavene. Fokuser på å lytte, spørre,
diskutere, honorere gode løsninger, oppklare misforståelser og konkludere.

Det er viktig at elevene utvikler en god forståelse av begrepene toppunkt og gyldighetsområde.
Legg også vekt på gode beskrivelser av hva grafen forteller om rektanglene.

Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i,
så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen.
Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på
tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla, og
når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd
sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen.

Læreplanmål

Mål for opplæringa er at eleven skal kunne ...

gjere greie for funksjonsomgrepet og teikne grafar ved å analysere funksjonsomgrepet

bruke digitale hjelpemiddel til å drøfte polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje skjeringspunkt, nullpunkt, ekstremalpunkt og stiging, og tolke den praktiske verdien av resultata

Hugsereglar

Undervisninga er meir effektiv når ho:

Byggjer på kunnskap elevane allereie har.
Det medfører utvikling av formative vurderingsteknikkar og endring av undervisninga slik at ho passar til kvar einskild elev sitt individuelle læringsbehov.
Eksponerer og diskuterer vanlege misoppfatningar og andre overraskande fenomen. Læringsaktivitetane bør få fram kva elevane tenkjer, skape spenning ved å konfrontere elevane med det som er inkonsistent og overraskande, og gi rom for å løyse opp spenninga gjennom diskusjon.
Brukar spørsmål av høgare orden.
Spørsmålsstillingane er meir effektive når dei fremjar forklaringar, bruk og samanhengar heller enn rein gjenskaping og reproduksjon.
Brukar interaktiv klasseundervisning, individuelt arbeid og samarbeid i små grupper på en tenleg måte.
Samarbeid i grupper er meir effektivt dersom elevane først får høve til individuell refleksjon. Aktivitetar er meir effektive når dei fremjar kritisk, konstruktiv diskusjon, i staden for argumentasjon eller ukritisk aksept. Felles mål og gruppeansvar er viktig.
Oppmuntrar til resonnering og logisk tenking i staden for ”gjett på svaret”.
Ofte er elevane meir opptekne av kva dei har gjort enn kva dei har lært. Det er betre å ha eit mål om å gå djupt inn i eit emne enn å strekkje seg etter en overflatisk oversikt.
Brukar rike samarbeidsoppgåver.
Oppgåvene bør ha låg inngangsterskel, kunne bli utvida, fremje hypotesetenking, invitere til diskusjon, fremje kreativitet, generere spørsmål som ”enn dersom” og ”enn dersom ikkje?”.
Skaper samanhengar mellom område både innan og utover matematikken og med den verkelege verda. Elevane synest ofte det er vanskeleg å generalisere og overføre det dei har lært til andre område og kontekstar. Omgrep som er i slekt med kvarandre blir ikkje kopla saman. Effektive lærarar byggjer bruer mellom idear.
Brukar ressursar, inkludert teknologi, på kreative og hensiktsmessige måtar.
IKT gir nye innfallsvinklar for å engasjere seg i matematikk. IKT på sitt beste dynamisk og visuell, på den måten kan samanhengar bli meir konkrete. IKT kan tilby tilbakemeldingar på handlingar og forsterke interaktivitet og elevautonomi. Internettbrukarar har tilgang til og høve til å dele ressursar – og enda viktigare – elever kan dele sine idear både i og utanfor klasseromet.
Møter vanskar i staden for å unngå dei.
Effektiv undervisning utfordrar elevane og har høge forventningar til dei. Undervisninga prøvar ikkje å ”glatte ut vegen”, men å skape realistiske hindringar som elevane skal greie. Sjølvtillit, evne til å halde ut og læring blir ikkje nådd gjennom gjentaking av suksess, men ved å streve med det som er vanskeleg og utfordrande.
Utviklar det matematiske språket gjennom aktivitetar med kommunikasjon. Matematikk er et språk som gjer oss i stand til å beskrive og modellere situasjonar, tenkje logisk, framføre og vurdere argument og kommunisere idear med presisjon. Elevane kan ikkje matematikk før dei kan ”snakke” matematikk. Effektiv undervisning fokuserer derfor på det kommunikative aspekt ved matematikken med å utvikle munnleg og skriftleg matematisk språk.
Gjenkjenner både kva som er lært og korleis det vart lært.
Ein kan ikkje alltid på førehand fastsetje kva elevane skal lære før en undervisningssekvens. Etter ei undervisningsøkt er det viktig å reflektere over den læringa som har funne stad, og gjere det så eksplisitt og lett å hugse som mogeleg. Effektive lærarar vil også reflektere over på kva for måte læringa har funne stad, slik at elevane utviklar sin eigen evne til å lære.

	Samanhengar
	Spørsmål
	Matematisk språk
	Byggjer stein på stein
	Gjenkjenner
	Rike samarbeidsoppgåver