Introduksjon til trigonometri

Sinus, cosinus, tangens, trigonometri, vilkårlige trekanter.

Dette opplegget av Ingvill Merete Stedøy-Johansen er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole" 

Geobrett til alle elevparene, geobrett for overhead, strikk, linjal, gradskive, målbånd (10–20 meter er fint), klinometer (kan også lages i papp), lommeregner med trigonometriske funksjoner.

Arbeidsform
Elevene sitter i grupper på fire rundt et bord. To og to skal arbeide sammen, men de fire har på denne måten mulighet til å diskutere og dele ideer med hverandre underveis. Opplegget starter inne med undersøkende aktiviteter. Deretter går alle ut for å gjøre målinger og samle inn data. Elevene går inn igjen for å gjøre beregninger. Klassen trekker konklusjoner og setter ord på hva de har lært, under ledelse av læreren.

Læreren har en viktig oppgave som igangsetter, «los» og inspirator under hele økta, i tillegg til at han eller hun skal sørge for at de nye begrepene blir innført på en faglig forsvarlig måte.

Elevene skal gå fra det kjente (formlike trekanter) til det ukjente (sinus, cosinus og tangens), slik at det blir naturlig for dem å innføre de nye begrepene. De skal raskt få se hva dette kan brukes til i praksis ved å gjøre egne observasjoner, målinger og beregninger. Denne introduksjonen skal gjøre dem i stand til å arbeide videre med trekantberegning. De skal
være med å utlede arealsetningen, cosinussetningen og sinussetningen i de kommende timene. På dette nivået anbefales det å bruke nabovinkler for en logisk utvidelse av sinus og cosinus til vinkler mellom 90 og 180 grader.

Læreren kan på forhånd ha tegnet en trekant på tavla som forklarer hvordan klinometeret virker. Møbler rommet og legg geobrett og strikk på pultene på forhånd for å spare tid. Læreren må også ha tenkt ut to høye ting i skolens nærområde som elevene skal bestemme høyden til. Vi brukte to av skolens bygg.

Læreren bør tenke gjennom hvordan hun eller han skal sette i gang elevene. En fin regel er å si minst mulig, men nok til at elevene kommer i gang. Når de er i gang med ulike utforskinger, går læreren rundt og svarer på spørsmål og kommer med innspill som får elevene videre.

Introduksjon (5 min)
Legg et geobrett på overhead. Legg en vinkel med toppunkt i nederste venstre hjørne. Spør om noen kan lage en rettvinklet trekant der denne vinkelen er med. La en elev komme opp og gjøre det.

Utforsking (15 min)
Oppgave til eleven:
- Lag din egen vinkel med toppunkt i nederste venstre pinne (ikke maken til lærerens).
- Lag ulike rettvinklede trekanter der denne vinkelen er med i trekanten.

Kommentar til læreren
Gå rundt og se hva elevene gjør. Noen vil bare lage trekanter med den rette vinkelen rett til høyre for den første vinkelen (langs grunnlinja). Noen vil helt sikkert også lage den rette vinkelen over grunnlinja. Når elevene har laget fire eller fem trekanter, samles dere ved geobrettet på overhead. Få elevene til å lage trekanter.

Spørsmål til elevene: Hva er felles for alle disse trekantene?
Svar: De er formlike.
Spørsmål til elevene: Hva vet dere om formlike trekanter?
Svar: Forholdet mellom to sider i én trekant er lik forholdet mellom to tilsvarende sider
i en annen trekant. Introduser begrepene motstående og hosliggende katet.

Innføring av nye matematiske begreper (10 min)
La elevene måle forholdet mellom

1. Motstående katet og hypotenusen i alle trekantene sine. Snakk litt om gjeldende siffer.
2. Hosliggende katet og hypotenusen i alle trekantene.
3. Motstående katet og hosliggende katet i alle trekantene.
   Når dere sammen har konstatert at disse forholdene er konstante, er det lekende lett og naturlig å introdusere forholdene i a, b og c som henholdsvis sinus, cosinus og tangens til vinkelen elevene begynte med.

Læreren viser på tavla hvordan vi kan bruke dette til å beregne ukjente sider i en rettvinklet trekant når vi kjenner en vinkel og en side.

Anvendelser, datainnsamling (30 min)
Elevene introduseres for klinometeret. Læreren demonstrerer hvordan det kan brukes til å måle siktevinkel. Elevene tar med målebånd, klinometer, kladdebok og blyant ut.

Gruppene foretar vinkelmålinger og avstandsmålinger ute. Hvert par skal finne siktevinkelen til toppen av to høye ting i tre ulike avstander, for eksempel 5 m, 10 m og 15 m. De skal også notere hvor høyt de vil anslå de ulike tingene de måler,
til å være.

Bearbeiding av data, presentasjon av resultater (20 min)
Etter at målingene er foretatt, går alle inn igjen. Elevene bruker sine egne data til å regne ut høydene. Be dem tegne figur. Tegn inn en rettvinklet trekant som kan brukes til å beregne høydene. Diskuter enten samlet eller ved bordene om de skal bruke sinus, cosinus eller tangens. Hvordan skal de kompensere for høyden over bakken hvor de måler vinkelen fra?
(Noen elever vil sikkert legge seg ned for å unngå å måtte legge til egen øynehøyde.)

Be elevene sammenlikne de beregnede verdiene med verdiene de gjettet. Hvorfor ble det riktig/feil?

Felles oppsummering og diskusjon
La elevene først få si hva de har lært. Pass på å få med de presise definisjonene av sinus, cosinus og tangens. Utfordre dem gjerne til å finne eksempler på situasjoner der trigonometri vil være nyttig for å kunne foreta beregninger.

NÅ er det på sin plass å fortelle elevene at de må PUGGE definisjonene av sinus, cosinus og tangens, og at de må lære hva som menes med motstående og hosliggende katet til en vinkel i en rettvinklet trekant.

Avslutt timen med å si at dere skal arbeide videre med trigonometri og se hvordan det også
kan brukes til å beregne sider, vinkler og areal i trekanter som ikke er rettvinklet.

Film