Collatz' formodning (The Collatz Conjecture)

Skrevet av Mike Naylor, 4. mars 2013

Interessant sekvens som ennå ikke er bevist

Collatz Tre

Start med et tilfeldig tall. Hvis det er et partall, divider med 2. Hvis det er et oddetall, multipliser med 3 og legg til 1. Fortsett til du kommer til 1, eller til du havner i en loop.

La oss prøve, og starte med 100:

100 - 50 - 25 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.

Ja, vi når 1 med 25 trinn. Legg merke til at rekkefølgen går opp og ned og opp og ned. Tallrekken kommer aldri tilbake til noe tall i sekvensen - hvis det skjedde, ville vi ha blitt sittende fast i en loop, og aldri nådd 1.

Hvilket startnummer vil ende opp i en loop uten å nå 1?

Det overraskende svaret er at ingen vet. Ingen har funnet noen tall som går inn i en loop uten å nå 1. Den eneste loop synes å være 4 - 2 - 1 - 4 - 2 - 1 - 4 - 2 - 1 - ...

Også overraskende er at ingen har klart å bevise at det ikke finnes slike looper! Per i dag er alle heltall blitt sjekket opp til 5 × 260 (`~~` 5.764×1018 eller 5 764 000 000 000 000 000) ...og alle sekvenser ender med 1!

Problemet ble utgitt av Luther Collatz i 1937, og mange mennesker har forsøkt å bevise det uten å lykkes. Paul Erdös, en berømt matematiker, sa at "Matematikken er ikke ennå moden for slike problemer." Det er mange pengepremier tilgjengelig for den som løser dette problemet! Dette er den typen problem som kanskje kan løses av en talentfull amatør som ser på problemet på en ny måte.

Kanskje du eller dine elever vil like å spille med disse sekvensene og trekke ut et kart over hvordan heltallene er koblet i et slags "Collatz tre." Et slikt tre ser du øverst på siden, og flere visualiseringer og ideer vises nedenfor.

 

Bildet av TerrorBite:

collatz-graf rund

 

En tegnserie fra www.xkcd.com.

collatz_conjecture comic

 

En fraktal bygd på en versjon av Collatz formodning med komplekse tall. http://en.wikipedia.org/wiki/File:CollatzFractal.png

Collatz Fraktal

 

Et google bildesøk etter "Collatz conjecture" gir hundrevis av bilder som kan stimulere fantasien...collatz collage

 

Ukens oppgave: Collatz sekvens fra 27.

I eksempelet over tok det 25 steg for å gå fra 100 til 1. i Collatz sekvensen. Hvor mange steg tar det å komme til 1 hvis du starter med 27? Skriv ned tallene... svaret er overraskende.

Tips en venn


Postadresse:
Matematikksenteret, NTNU
7491 Trondheim
Besøksadresse:
Gløshaugen,
Realfagbygget, A4
Telefon og epost:
73 55 11 42
ms@matematikksenteret.no
Kjernetid:
09.00-15.00

Personvernerklæring