Areal og omkrets

151214 Kenguru_lang

 

Mange elever forklarer areal ved å si at det er det samme som lengde gange bredde. Disse elevene refererer til en lært formel for areal uten at vi vet om de skjønner at areal er et mål for hvor stor flate en figur har.

Omkrets blir ofte av elever brukt synonymt med å måle hvor langt det er rundt en figur, noe som gir et godt bilde på hva det er.  Omkrets måles i lengdeenheter mens areal måles i arealenheter i to dimensjoner som gir en flate. I mange lærebøker behandles areal og omkrets hver for seg. På disse sidene presenteres oppgaver og oppgaveideer hvor det fokuseres på sammenhenger mellom areal og omkrets.

Introduksjonsoppgave:

 

Før elevene går i gang med oppgavene på de neste sidene, bør de ha en viss forståelse av hva omkrets og areal er. Det er en stor fordel at elevene i forkant enten har arbeidet med oppgaven nedenfor eller lignende oppgaver.  

  1. Bruk et rutenett (kopieringsoriginal) og tegn så mange forskjellige rektangler som mulig med areal 24. Hver rute tilsvarer en arealenhet. Finn omkretsen av alle rektanglene. Hvilket rektangel har den minste omkretsen? Hvilket rektangel har den største omkretsen? Sammenlign formen til rektangelet med minst og størst omkrets. Beskriv forskjellen.
  2. I et rutenett har hver rute en omkrets på 4. Bruk et rutenett og tegn ulike figurer hvor omkretsen er 16. Finn arealet til hver av figurene. Hvilken av figurene har minst areal, og hvilken figur har størst areal? Sammenlign formen på disse figurene og beskriv forskjellen.

Nøkkelspørsmål til eller i etterkant av introduksjonsoppgaven:

  • Kan arealet i en figur være fast, men at lengden til omkretsen kan endres? 
  • Kan omkretsen i en figur være fast samtidig som arealet blir større eller mindre?
  • Hva er den minste omkretsen en figur med areal for eksempel på 15m2 kan ha?
  • Hvilke egenskaper har kvadratet (og eventuelt sirkelen) i denne sammenhengen?
  • Er  det mulig å lage en figur hvor både omkrets og areal har samme måltall? For eksempel at omkretsen er 18 m samtidig som arealet er 18 m2?
    (Det er mulig å lage et kvadrat med sidelengde 4 cm hvor omkretsen da er 16 cm og arealet vil er 16 cm2).

 

Arbeid med areal og omkrets

Oppgavene på de neste sidene er valgt ut fordi de stiller spørsmål rundt sammenhengen mellom omkrets og areal. Oppgavene er varierte og er ikke nødvendigvis plassert i en rekkefølge med stigende vanskegrad. Under hver oppgave finnes tips til nøkkelspørsmål som lærer kan stille til elever underveis og eksempler på hvordan oppgaven kan utvides eventuelt forenkles. Fasit finnes på siste side.

Alle oppgavene er hentet fra Kengurukonkurransen og er merket med bokstavene E(Ecolier), B(Benjamin) eller C(Cadet) som viser hvilket oppgavesett de er hentet fra. Når det for eksempel står B7-2015, viser 7 til originalnummeret mens de fire siste sifrene står for hvilket år oppgaven var med i Kengurukonkurransen.

Flere oppgaver finnes på www.matematikksenteret.no/kengurusidene

 

Eksempel fra oppgavesettet:

 

Oppgave 2

Et parallellogram er delt i to deler A og B slik figuren viser.                             

Hvilket av utsagnene nedenfor er riktig?

A)  B har større omkrets enn A

B)  B har mindre omkrets enn A         Eksempeloppgave areal og omkrets

C)  B har mindre areal enn A            

D)  A og B har samme areal

E)  A og B har samme omkrets                                 

 

Videre utforsking – utvidelse av oppgaven:

  • Kan man dele parallellogrammet slik at B har større omkrets enn A (svaralternativ A)? Lag en figur som viser et eksempel på det. Lag andre figurer som passer til andre svaralternativ.
  • Kan man dele parallellogrammet slik at figur A og B har samme areal og omkrets? Hvis ja, finnes det flere måter? Tegn figur. Bruk gjerne ruteark eller andre hjelpemidler.
  • Hva hvis parallellogrammet skal deles i 3 eller 4 deler? Delene kan enten ha samme omkrets, samme areal eller så skal både omkrets og areal skal være lik. Erstatt gjerne parallellogrammet med et rektangel dersom det passer bedre.

 

Postadresse:
Matematikksenteret, NTNU
7491 Trondheim
Besøksadresse:
Gløshaugen,
Realfagbygget, A4
Telefon og epost:
73 55 11 42
ms@matematikksenteret.no
Kjernetid:
09.00-15.00

Personvernerklæring