Kvikkbilde 8 · 6

Ulike måter å se antall på. Resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner.

Dette opplegget er utarbeidet som en del av MAM-prosjektet.

Plakat, lysark, interaktiv tavle eller PowerPoint med

.

Vis bilde med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan prikkene er organisert. Etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på dem måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere.

Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall prikker. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv utrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som nødvendigvis skal regnes ut. De matematiske sammenhengene i Kvikkbilde «8 · 6» blir drøftet nærmere nedenfor.

Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere.

Mer om kvikkbildeaktiviteter finner du på nettsiden til MAM-prosjektet, Aktiviteter, Kvikkbilder.

Matematiske sammenhenger 

Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall prikker i hele figuren er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp figuren. På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner.

Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve.

Assosiativ egenskap: (a · b) · c = a · (b · c) 
Prikkene kan betraktes som åtte grupper med seks prikker i hver gruppe. Gruppene er fordelt på to rader, med fire grupper i hver rad.  Faktorene 6, 4 og 2 vil da inngå i utrykkene.  
Antall prikker per rad kan regnes ut først og antallet dobles. For elevene kan det da være naturlig å foreslå notasjonen (6 · 4) · 2, fordi det beskriver rekkefølgen i tankegangen deres.

Andre mulige betraktninger:  
6 · (4 · 2) – Seks prikker i hver gruppe, fire grupper som speiles.
(6 · 2) · 4 – Seks prikker som er speilet. Det er fire slike grupper.
(4 · 2) · 6 – Fire grupper på ei rad i to like rader, multiplisert med 6 prikker i hver gruppe.

Tar man utgangspunkt i at kommutativ egenskap ved multiplikasjon er kjent for elevene fra før, kan man diskutere assosiativ egenskap ved multiplikasjon.

Distributiv egenskap: a · (b + c) = ab + ac 

Figuren til høyre viser en annen måte å betrakte bildet på.
Man ser fire grupper med prikker som består av ti prikker i midten og to på kantene. En symbolsk beskrivelse kan da være (10 + 2) · 4.
Bildet kan også betraktes som fire tiere og fire toere, altså som
(10 · 4 + 2 · 4).

En sammenligning av de to betraktningene gir en illustrasjon av den distributive egenskapen.

Symbolsk beskrivelse

Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 6 · 4 = 24 · 2 = 48. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt.
I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 6 · 4 → 24 · 2 → 48 
Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og strukturen i tallet 48.