Misoppfatninger knyttet til brøk

Her ser vi på misoppfatninger knyttet til brøk. Vi vil vise eksempler på diagnostiske oppgaver, gi korte analyser av oppgavene, og eksempel på elevsvar som kan tyde på at elever er i misoppfatninger.

Oppgavene er utviklet og prøvd ut av Matematikksenteret. Oppgavene kartlegger misoppfatninger knyttet til forståelsen av brøkbegrepet. En brøk kan ha forskjellig betydning i ulike sammenhenger, og for å ha et godt utviklet brøkbegrep må elevene beherske alle disse aspektene. Vansker med brøk henger ofte sammen med elevenes tidligere erfaringer med de hele tallene, og mange elever bruker denne «heltallstenkingen» når de løser oppgaver med brøk. Oppgavene tester om elevene forstår betydningen av teller og nevner i en brøk, og om de for eksempel tenker på teller og nevner som to hele separate tall, noe som kan føre til flere ulike misoppfatninger innenfor brøk.

Nevner representerer antall deler - uavhengig av størrelse

Nevner representerer anltall deler uav.... - flagg Thailand

En del elever tar ikke hensyn til brøkdelenes størrelse, men fokuserer kun på antall deler. En misoppfatning som da oppstår, er at brøk ikke nødvendigvis betyr deling i like store deler. Når disse elevene møter figurer som flagget til høyre, vil de tro at hver del i flagget tilsvarer  `(1)/(5)` av figuren, selv om de ser at det blå feltet er større enn de andre.  

Andre vil si at `(1)/(4)` av flagget er blått siden det er 1 del som er blå og 4 deler som ikke er blå. Disse elevene kan være i misoppfatninger knyttet til ulike aspekter ved brøkbegrepet. Når det er snakk om hvor stor del av figuren som er blå, snakker vi om del-hel. Hvis det er snakk forholdet mellom fargene, snakker vi om del-del.

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i en misoppfatning om at nevner representerer antall deler uavhengig av størrelse.

Nevner representerer antall deler_alle oppg samlet

Analyse

Resultatet av utprøving av oppgavene tyder på at mange elever har mangelfull forståelse for hva brøk som en del av en hel er. Elever som tror at nevner representerer antall deler uavhengig av størrelsen, vil si at både alternativ 2 og 3 i oppgave 1 viser at `(1)/(3)`​​​​ av figuren er fargelagt rød. I begge disse alternativene er én av tre deler røde, men det er bare i alternativ 2 at én av tre like store deler er fargelagt rød. Ved utprøving viste det seg at litt over 40 % av elevene svarte både alternativ 2 og 3. Dette gjelder for både 6. og 9. trinn.

De elevene som velger alternativ 1, kan tenke at én del er rød og tre deler er hvite (del-del). Det er imidlertid få elever som avgir dette svaret.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Nevner representerer anltall deler uav..._1

Nevner representerer anltall deler uav..._2

 

Jo større nevner (eller teller), jo større brøk

Når elever skal avgjøre størrelsen til brøker er det noen som overgeneraliserer kunnskapen de har om de naturlige tallene og desimaltall. 

Jo større nevner1Heltallstenkingen medfører at elevene ser på teller og nevner som rene tallstørrelser uten å ta hensyn til forholdet mellom dem. Figuren til høyre viser eksempel på elevsvar der eleven mener at `(1)/(9)`​​​​ er større enn `(1)/(8)`​​​​ fordi 9 er større enn 8.  I andre oppgaver vil noen elever svare at for eksempel `(9)/(12)`​​​​ er større enn `(8)/(10)`​​​​ fordi både teller og nevner er størst i `(9)/(12)`​​​​.

I desimaltall er 0,9 nærmere 1 enn 0,8. Noen elever overfører dette til brøk, og tenker at `(1)/(9)`​​​​ er større enn `(1)/(8)`​​​​, og argumenterer med at `(1)/(9)`​​​​ er nærmest en hel. På samme måte vurderer en del elever størrelsen til brøken `(1)/(5)`​​​​til å være omtrent en halv, altså at `(1)/(5)`​​​​ er lik 0,5.

Noen elever betrakter brøkstreken som komma og vil si at `(1)/(9)`​​​​ er større enn `(1)/(8)`​​​​ fordi 1,9 er større enn 1,8. Mer om denne misoppfatningen omtales under brøkstrek er lik desimalkomma.

En annen misoppfatning er når eleven tar utgangspunkt i en hel, og vurderer størrelsen på brøken ut fra differensen mellom teller og nevner. Eksempel: `(2)/(3)`​​​​ er større enn `(3)/(5)`​​​​ fordi i `(2)/(3)`​​​​ mangler det bare én i telleren for å få en hel, mens i `(3)/(5)`​​​​ mangler det to i telleren for å få en hel. Som eksemplet viser blir svaret noen ganger riktig når elevene tenker på denne måten, men argumentasjonen avslører en misoppfatning. Misoppfatningen beskrives også under differensen mellom teller og nevner avgjør størrelsen på brøken.

En del elever pugger setningen «Jo større nevner, jo mindre brøk» som en regel. Oppfølgingsspørsmål vil avdekke om elevene forstår hvorfor det er slik.

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i misoppfatningen jo større nevner (eller teller), jo større brøk.

Jo større nevner_oppgavene samlet

Analyse

Når elevene skal skrive en brøk som er mindre enn `(1)/(3)`​​​​ i oppgave 1, kan elever som tenker at jo større nevner (eller teller), jo større brøk svare ​​​​​​`(1)/(2)`​​​​, siden 2 er mindre enn 3. Ved utprøving svarte omtrent halvparten av elevene på 6. trinn og en tredel av elevene på 9. trinn dette.

I oppgave 2 skal elevene skrive en brøk som har dobbel så stor verdi som `(1)/(6)`​​​​. På 6. trinn svarte over 60 % av elevene enten `(1)/(12)` eller `(2)/(12)`​​​​ og tilsvarende tall på 9. trinn er 50 %.

Elevene som mener at større nevner gir større brøk, er også i en misoppfatning om at mindre nevner gir mindre verdi. Dette kommer fram i eksemplet med Henrik og Kasper deler likt `(1)/(4)` l saft, ved at de svarer at halvparten av `(1)/(4)` er `(1)/(2)`.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Jo større nevner 1

Jo større nevner 2 

Jo større nevner 3

Brøkstrek er lik komma

Mange elever forbinder brøk med teller, nevner og brøkstrek. Måten brøker skrives på, to tall skrevet over hverandre med en strek i mellom, er helt annerledes enn andre tallsymbol. Det er vanskelig for mange elever å forstå at en brøk representerer ett tall, ettersom den består av to tall, plassert på ulike linjer. En del elever behandler teller og nevner som to heltall og betrakter brøkstreken som et skilletegn mellom teller og nevner. Eksempel: Brøken `(2)/(5)` er det samme som 2,5. På samme måte svarer en del elever at `(1)/(5)` er lik 1,5. Noen elever vurderer derimot størrelsen til brøken `(1)/(5)` til å være omtrent en halv (`(1)/(5)` er lik 0,5), eller 0,1 (telleren bestemmer størrelsen).

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i misoppfatningen at brøkstrek er lik komma.

Brokstrek-er-lik-komma.png

Analyse

Ved utprøving av oppgavene ser vi at mange elever tolker at brøkstrek er lik komma. Elever som er i denne misoppfatningen vil svare at 0,46 er lik `(0)/(46)`. Resultatene fra utprøving viser at omtrent 50 % av elevene i 6. trinn og 10 % av elevene i 9. trinn svarte dette. Det er også en del elever som svarer `(4)/(6)` er lik 0,46.

Elever som tolker at brøkstrek er lik komma, vil svare 1,4 og 4,5 i de to andre oppgavene. Resultatene fra utprøving viser at dette gjelder omtrent halvparten av elevene på 6. trinn og 10 % av elevene i 9. trinn.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Brøkstrek er lik komma1

Brøkstrek er lik komma2

Brøkstrek er lik komma3

Brøkstrek er lik komma4

 

Differensen mellom teller og nevner avgjør størrelsen til brøken

Differansen mellom to størrelser er en additiv sammenheng som vi finner ved å subtrahere. Forholdet mellom to størrelser er en multiplikativ sammenheng som vi finner ved å dividere. En brøk er en multiplikativ relasjon mellom to størrelser (teller og nevner).

Noen elever tar utgangspunkt i kunnskap de har fra de naturlige tallene når de skal avgjøre størrelsen til brøker. De ser på teller og nevner som uavhengige tallstørrelser og tar ikke hensyn til forholdet mellom dem.

Det medfører at elevene ser på differansen mellom teller og nevner når de skal vurdere størrelsen til brøken. Jo mindre differansen er, jo større er brøken. Eksempel: Brøken`(3)/(5)` er større enn`(6)/(9)` fordi differensen mellom 3 og 5 er mindre enn mellom 6 og 9. Strategien vil alltid fungere dersom elevene sammenligner brøker med samme nevner, men den vil også fungere i andre tilfeller. Dersom elevene sammenligner `(1)/(2)` med `(2)/(5)`, vil feiltenkingen gi riktig svar.

Misoppfatningen vil også kunne påvirke forståelsen av likeverdige brøker. Eksempel: Noen elever tenker at `(3)/(4)` og `(4)/(5)` er like store, fordi differansen mellom teller og nevner er lik.
Differansen mellom teller og nevner

Misoppfatningen kan i tillegg komme til syne i problemer der multiplikative strukturer inngår som for eksempel brøk som forholdstall. Eksempel: Line skal forminske et bilde, slik at størrelsen på bildet blir halvert. Høyden blir halvert, `(1)/(2)` ∙ 12 cm = 6 cm. Elever som ser på dette som en additiv sammenheng, vil tenke forskjell i stedet for forhold (12 cm – 6 cm = 6 cm). Når høyden minker med 6 cm, subtraherer de samme lengde fra bredden (8 cm – 6 cm = 2 cm). Disse elevene vil mene at `(6)/(12)` er det samme som `(2)/(8)` fordi differansen mellom teller og nevner er 6 i begge brøkene. Konsekvensen av tenkingen kommer godt til syne i figuren til høyre, der proporsjonene i bildet er endret etter forminskningen.

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i misoppfatningen differensen mellom teller og nevner avgjør størrelsen til brøken.

Differansen-mellom-teller-og-nevner.png

 

Analyse

I den første oppgaven skal elevene bestemme nevneren i en brøk når: Differansen mellom teller og nevner_eksempel

Elevene som vurderer størrelsen til brøkene ut fra differansen mellom teller og nevner, tenker at nevneren må være 3 for å få differansen 1 mellom teller og nevner. Resultatet av utprøvingen viser at omtrent 25 % av elevene i 6. trinn og 15 % av elevene i 9. trinn svarte dette.

Elevsvarene viser godt hvordan elever i misoppfatningen differensen mellom teller og nevner avgjør størrelsen til brøken tenker.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Differansen mellom teller og nevner1

Differansen mellom teller og nevner2

Differansen mellom teller og nevner3

Differansen mellom teller og nevner4

 

Teller (eller nevner) er et isolert tall

Noen elever forholder seg kun til telleren eller nevneren og tar ikke hensyn til helheten. I mange tilfeller vil elevene få riktig svar med denne tenkingen.

Eksempel: En pizza er delt i åtte deler, og Lisa spiser `(3)/(8)` av pizzaen. Elever som kun ser på telleren svarer 3 pizzastykker og får riktig svar. Dersom Lisa spiser `(1)/(4)` av pizzaen, svarer noen av disse elevene ett pizzastykke, selv om pizzaen er delt i åtte deler. På samme måte vil de si at brøkdelen av en mengde er lik telleren i brøken, uansett antall elementer i mengden. For disse elevene vil `(1)/(3)` av dropsene i en pose utgjøre ett drops, uansett hvor mange drops det er i posen.

Oppgaver

Her er to oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene ser på teller eller nevner som et isolert tall.

Teller-eller-nevner-er-en-absoluttverdi.png

Analyse

Ved utprøving av oppgavene ser vi at mange elever tolker teller eller nevner som isolerte tall. Når elevene skal tegne en ring rundt  `(1)/(3)` av en mengde, i dette tilfellet 12 brikker, vil mange tegne en ring rundt én brikke (telleren i `(1)/(3)`) eller tre brikker (nevneren i `(1)/(3)`). Resultatet av utprøvingen viser at de fleste av de som svarer feil, setter ring rundt tre brikker (nevneren). Omtrent 20 % av elevene i 6. trinn og litt over 5 % av elevene i 9. trinn svarte dette.

Samme tankemåte ser vi når elevene skal markere `(3)/(3)` av et rutenett bestående av ni ruter. Elevsvarene nedenfor viser at elever som ser på teller (eller nevner) som et isolert tall, markerer tre ruter.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Teller og nevner er en absoluttverdi

Teller og nevner er en absoluttverdi

 

Tar ikke hensyn til helheten

En grunnleggende forståelse av brøk, er å kunne se brøk som en relativ størrelse. En misoppfatning noen elever kan være i, er at de oppfatter brøker som en del av den samme helheten, og at verdien av brøkene alltid har det samme forholdet til hverandre, uavhengig av brøkens helhet. De mener at en halv av noe og en halv av noe annet alltid er like mye. Elevene må erfare at brøk kan være en del av varierende mengder. Brøkdelene må sees i forhold til helheten. Det kan være forvirrende for elevene fordi en halv befinner seg bare på ett sted på tallinja, mens halvparten av noe kan variere avhengig av hva helheten er.

Noen elever vil si at brøken `(1)/(2)` beskriver den grønne figuren til høyre, mens de vil få problemer med å nevne en brøk som beskriver den blå figuren. Hvilken brøk figurene illustrerer avhenger av hva vi definerer som helheten. I og med at den grønne figuren har form som en halvsirkel, er det veldig naturlig å definere det hele som en sirkel. Den blå figuren er vanskeligere å beskrive siden vi ikke har noe bilde på hva det hele er. Tar-ikke-hensyn-til-helheten_br%C3%B8ksirkel.png

Den grønne figuren kan like gjerne være `(1)/(1)` som `(1)/(2)`. Det avhenger av hva vi definerer som helheten. Poenget er at det er viktig å definere hva som er helheten, også i forbindelse med bruk av konkreter.

Noen elever har problemer med å forstå at helheten kan endre seg. Disse elevene kan mene at en mengde vil være den samme om det først har vært en økning i antall elementer og deretter tilsvarende minking. Eksempel: Medlemstallet i en ungdomsklubb øker et år med `(1)/(10)`. Året etter minker antallet med `(1)/(10)`. Disse elevene vil da si at medlemstallet er det samme som året før.

På samme måte kan de tenke at brøkdelen er den samme, dersom du legger til enheter i en mengde og deretter tar bort like mange enheter. Eksempel: Olav har 8 brikker og legger til `(1)/(4)` av antallet. En firedel utgjør to brikker, slik at Olav har 10 brikker totalt. Etterpå tar han bort to brikker. En del elever vil da si at han tok bort like stor del av brikkene, altså `(1)/(4)`, mens han i realiteten tok bort 2 av 10, som utgjør `(1)/(5)`.

Tar-ikke-hensyn-til-helheten_tellebrikker.png

Oppgaver

Her er en oppgave som kan egne seg til å undersøke om elevene er i misoppfatningen tar ikke hensyn til helheten.

Tar ikke hensyn til helheten

Analyse

Oppgaven utfordrer elevene til å se på brøk som operator. Elevene skal ta stilling til ulike forklaringer om det er mulig at `(1)/(4)` kan være større enn `(1)/(2)`. Elevsvarene er basert på en åpen utprøving, og det riktige svaret i flervalgsoppgaven er plassert øverst til venstre for å sikre at flest mulig elever leser denne forklaringa før de ser de andre alternativene.

I vår utprøving, da oppgaven ble testet med alternativ, valgte godt over halvparten av elevene både i 6. og 9. trinn forklaringa med arealmodellen. I 6. trinn svarer rundt 10 % av elevene hver av de to nederste alternativene. De som svarer alternativet nederst til venstre tar med seg heltallstenkinga inn i brøkbegrepet og kan være i misoppfatningen jo større nevner (eller teller), jo større brøk. De som svarer alternativet nederst til høyre kan være i misoppfatningen teller eller nevner er et isolert tall.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Tar-ikke-hensyn-til-helheten_1.png

Teller%20eller%20nevner%20er%20en%20absoluttverdi_2.png

 

Diagnostiske oppgaver knyttet til brøk

Her finner du oppgavene som er omtalt under de ulike misoppfatningene knyttet til brøk. Oppgavene er diagnostiske og oppfordrer i tillegg elevene til å forklare hvordan de har tenkt i hver enkelt oppgave. Dette er gjort for å enklere få innblikk i hvilke misoppfatninger elevene eventuelt er i. Oppgavene utgjør imidlertid ikke en diagnostisk prøve siden det er for få oppgaver som tester hver enkelt misoppfatning.

En metode som kalles My favourite no, er fin til å jobbe med oppgavene i klasserommet. Metoden går ut på at læreren plukker ut et spesielt interessant feilsvar etter at elevene har svart på oppgavene. Dette feilsvaret viser mye god og fornuftig tenking hos eleven, samtidig som det viser typiske feil eller tegn til misoppfatning. Trolig har andre elever i klassen tenkt på samme måte.

Noe av poenget med metoden er å løfte fram feilsvar som noe positivt i klasserommet. Dette passer veldig godt i arbeidet med misoppfatninger. Mange misoppfatninger kommer av at elevene har oppdaget et mønster, og så trekker ugyldige slutninger og generaliseringer på sviktende grunnlag. I noen tilfeller vil dette gi riktig svar, uten at elevene nødvendigvis har forstått det de skal.

 

Misoppfatning Side i pdf  
Nevner representerer antall deler uavhengig av størrelse 1, 7, 9
Jo større nevner(eller teller), jo større brøk 5, 8, 12
Brøkstrek er lik komma 2, 10, 14
Differensen mellom teller og nevner avgjør størrelsen til brøken 4, 6, 13
Teller eller nevner er et isolert tall 3, 11
Tar ikke hensyn til helheten 15

 

 

Undervisningsopplegg Brøk

På denne siden finner du eksempler på undervisningsopplegg som er gode for å bygge solide begreper innenfor området Brøk. Disse undervisningsoppleggene er publisert i Matematikksenteret sin undervisningsoppleggbank, og vil derfor bli åpnet i egen fane.

For å få fullt utbytte av ressursene nedenfor er det viktig at læreren har god kjennskap til de ulike misoppfatningene vi har beskrevet over. I tillegg må læreren ha satt seg inn i den helhetlige tenkingen rundt god undervisning i matematikk. Dette gjelder for alle elever, også elever som er i en misoppfatning. 

Det kan også være relevant å bruke undervisningsopplegg fra kategoriene Tall og Tallregning.

Puslespillet Seilbåt           

I denne aktiviteten skal elevene forstørre et puslespill.                             

                                                                           

seilba%CC%8At.png

Brøk og desimaltall

 

Br%C3%B8ksirkler.jpg

Fordeling av sjokoladekaker

 

Tittelbilde%20Fordeling%20av%20sjokoladekaker.png

Skredder og skjerf

 

Tittel%20Skredder%20og%20skjerf.png

Arnes klinkekuler (til læreren)

klinkekuler1.PNG

Arnes klinkekuler (til elevene) 

klinkekuler2.PNG

Tre på rad - brøk og prosent

Spillbrett%20tre%20pa%CC%8A%20rad-br%C3%B8k%20og%20prosent.png

Småkaker i kakeboksen

Kakeboks%20II.jpg