Misoppfatninger knyttet til tall

Her ser vi på misoppfatninger knyttet til Tall, vi vil vise eksempler på diagnostiske oppgaver, gi korte analyser av oppgavene, og eksempel på elevsvar som kan tyde på at elever er i misoppfatninger.

Oppgavene er utviklet og prøvd ut av Matematikksenteret. Oppgavene tester om elevene forstår oppbyggingen av posisjonssystemet (prinsippet om at hver plass er en tierpotens) og om de kjenner navnet til plassverdiene. I tillegg tester oppgavene bruken av null som plassholder og forståelsen av desimaltall.

 

Null som plassholder

Fra arbeid med telling og mengdebegrepet har elevene erfaringer med at en tom mengde ikke inneholder noen objekter, altså null objekter. Noen elever kan til og med si at null betyr "ingenting". Hvis de tar med seg, og generaliserer, denne ideen om at null ikke har noen betydning over til arbeid med posisjonssystemet kan det føre til misoppfatninger. 

Null som plassholder handler om å kunne bruke null for å fylle en tom plass i plassverdisystemet. Elevene skal vite at 3 hundrere, 7 enere og 4 hundredeler skrives som 307,04, og ikke 37,4.Null%20som%20plassholder.png

Misoppfatninger knyttet til null som plassholder henger ofte tett sammen med misoppfatningen desimaltall som par av hele tall. Noen elever svarer for eksempel at 4,09 er større enn 4,7 og 4,008. De sammenligner størrelsen på tallene skrevet bak komma, i dette tilfellet 09, 7 og 008, og mener at 9 er størst ettersom nullene ikke betyr noen ting.  

I oppgaven under har elever som svarer 7 eller 0,7 vanskeligheter med å bruke 0 på korrekt måte som plassholder.

Null som plassholder og desimaltal som par av hele tall-oppgaveeksempel_0.png

Elever som er i misoppfatningen desimaltall som par av hele tall vil svare 0,52 på grunn av at det "mangler" 52 for å få 57 bak komma.

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i en misoppfatning om null som plassholder.

Nulls om plassholder_oppg.samlet

Analyse

Gjennom utprøving av oppgaver ser vi at mange elever viser mangelfull forståelse for null som plassholder. Resultatene fra utprøvingen viser at omtrent 20 % av elevene i 6. trinn svart at 13 000 er to mindre enn 15 000. Som elevsvaret nedenfor viser, behandler eleven 15 000 som 15 og eleven viser i utregning av 13 er to mindre enn 15, og setter på de tre nullene til slutt. Eleven forholder seg til nullene, men ikke til null som plassholder. Dette feilsvaret var mindre brukt på 9. trinn, der litt over 5 % av elevene svarte dette.

I 9. trinn er det 150 det mest vanlige feilsvaret i denne oppgaven. Dette kan skyldes at elevene i ungdomsskolen jobber med forkorting av brøker og at elever dermed «stryker» nuller uten å ha forstått dette. Elevene stryker to nuller for å få et tall som er to mindre.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Null%20som%20plassholder_1.png

Null%20som%20plassholder_2.png

Null%20som%20plassholder_3.png

 

Desimaltall som par av hele tall

Når barn (og voksne) er usikre på meningen med noe, forsøker de å tolke det ukjente inn i en kjent sammenheng. I forbindelse med symboliseringen av desimaltall fører det i noen sammenhenger til at elevene overser desimalkommaet, og i andre sammenhenger til at de tenker at desimaltallet er satt sammen av to uavhengige, naturlige tall som er skilt fra hverandre med et komma. 

Denne type tenking gjør at noen elever tolker 5,65 som ”fem hundre og sekstifem”, mens andre kan tolke det som to separate, naturlige tall ”fem og sekstifem”. Ensidig konkretisering av desimaltall ved hjelp av kroner og øre eller meter og centimeter kan være med på underbygge tolkningen av desimaltall som et par av hele tall, der rollen til kommaet er å være skilletegn mellom de to heltallsdelene.

Desimaltall som par av hele tall

Denne misoppfatningen underbygges av mange i dagligtale: 
 π ≈ 3,14 (uttales ofte "tre komma fjorten")
1,83 m (uttales ofte "en komma åttitre")
19,90 kr (uttales ofte "nitten nitti")

Det er derfor viktig å referere til plassverdiene i posisjonssystemet i behandlingen av desimaltall. For eksempel bør verdien av `pi` med to desimaler uttales som "tre hele, én tidel og fire hundredeler". Etter hvert som elevene er fortrolig med denne måten å uttale desimaltall på, vil det være naturlig å gå over til en uttale som poengterer delene i desimalene "tre komma en fire". Da blir det tydeligere at det dreier seg om ett tall som består av siffer med verdier, og ikke to tall med komma mellom.

Oppgaver

Her er fire oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i misoppfatningen desimaltall som par av hele tall.

Desimaltall som par av hele tall_samlet.png

Analyse

Gjennom utprøving av oppgavene, ser vi at mange elever avgir svar som tyder på at de er i misoppfatningen desimaltall som par av hele tall. I oppgaven «Hva er halvparten av 6,10?», svarte omtrent halvparten av elevene 3,5, fordelt på omtrent 60 % av elevene i 6. trinn og 40 % av elevene i 9. trinn.

Som elevsvarene viser behandler elevene 6,10 som to sett med hele tall: tallet 6 foran kommaet og 10 bak kommaet. Så halverer elevene 6 og får 3 og så halverer de 10 og får 5. Til slutt settes de sammen de to settene, med komma som skille, til svaret 3,5.

Samme tankegang blir avslørt når elevene skal doble 4,7. Elevene som er i misoppfatningen desimaltall som par av hele tall vil doble 4 og få 8 og så doble 7 og så 14. Så setter de sammen de to delene, en del før kommaet og en del bak kommaet og svarer 8,14.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Desimaltall som par av hele tall 1

Desimaltall som par av hele tall 2

Desimaltall som par av hele tall 3

Desimaltall som par av hele tall 4

Desimaltall%20som%20par%20av%20hele%20tall_5.png

Antall desimaler avgjør størrelsen på tallet

Misoppfatninger knyttet til sammenligning av desimaltall der tallene er oppgitt med ulikt antall desimaler.  Antall desimaler avgjør størrelsen til tallet

Mange elever tror at det korteste desimaltallet er minst (og det lengste størst), når heltallsdelen er lik. Det kan komme av at de ser på tallet bak komma som et helt tall. De vil si at 0,5 er mindre enn 0,25 fordi 5 er mindre enn 25. Misoppfatningen desimaltall som par av hele tall, er grunnlaget for misoppfatningen at det korteste desimaltallet er minst.

Andre elever er i misoppfatningen at det lengste desimaltallet er minst. De vil si at 0,375 er mindre enn 0,25 fordi tusendeler er mindre enn hundredeler. Tallet med tusendelene er delt i flere deler, og dermed blir hver del mindre.

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i en misoppfatning om at antall desimaler avgjør størrelsen til tallet. Det er verdt å merke seg at disse oppgavene også tester misoppfatningen desimaltall som par av hele tall.

Antall%20desimaler%20avgj%C3%B8r%20st%C3%B8rrelsen%20til%20tallet_samlet.png

 

Analyse

I oppgaven der elevene skal sortere tre desimaltall etter størrelse, fra minst til størst, kommer to høyfrekvente feilsvar fram. Elever som er i misoppfatningen desimaltall som par av hele tall, sorter tallene i denne rekkefølgen: 0,2 – 0,53 – 0,175. De sammenligner desimaltalldelene i tallene som om de var heltall og finner ut at 2 er minst og 175 størst.

Det andre høyfrekvente feilsvaret kommer fra elever som sorterer tallene på denne måten:
0,175 – 0,53 – 0,2. For dem er 0,175 mindre enn 0,53 fordi 0,175 inneholder tideler, hundredeler og tusendeler, mens 0,53 inneholder tideler og hundredeler. 0,2 blir da størst fordi det inneholder bare tideler og ikke er oppdelt i mindre deler. Ut fra vår utprøving er dette feilsvaret nesten like høyfrekvent i både 6. og 9. trinn, med at rundt 10 % av elevene har svart dette.

I de to andre oppgavene skal elevene sammenligne størrelsen til desimaltall med samme heltallsdel. Elevene som er i misoppfatningen desimaltall som par av hele tall ser på 0,4 som det minste tallet (oppgave 2) og 0,549 som det største tallet (oppgave 3). Elever som lar antall desimaler avgjør størrelsen til tallet, vil si at 0,3752 er minst og 0,6 størst. For disse elevene er 0,3752 minst fordi det er det eneste tallet som inneholder titusendeler. På samme måte blir 0,6 størst, siden det er eneste oppgaven som ikke inneholder hundredeler.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Antall desimaler avgjør størrelsen til tallet 1

Antall desimaler avgjør størrelsen til tallet 2

Antall desimaler avgjør størrelsen til tallet 3

 

Diagnostiske oppgaver knyttet tilTall

Her finner du oppgavene som er omtalt under de ulike misoppfatningene knyttet til Tall. Oppgavene er diagnostiske og oppfordrer i tillegg elevene til å forklare hvordan de har tenkt i hver enkelt oppgave. Dette er gjort for å enklere få innblikk i hvilke misoppfatninger elevene eventuelt er i. Oppgavene utgjør imidlertid ikke en diagnostisk prøve siden det er for få oppgaver som tester hver enkelt misoppfatning.

En metode som kalles My favourite no, er fin til å jobbe med oppgavene i klasserommet. Metoden går ut på at læreren plukker ut et spesielt interessant feilsvar etter at elevene har svart på oppgavene. Dette feilsvaret viser mye god og fornuftig tenking hos eleven, samtidig som det viser typiske feil eller tegn til misoppfatning. Trolig har andre elever i klassen tenkt på samme måte.

Noe av poenget med metoden er å løfte fram feilsvar som noe positivt i klasserommet. Dette passer veldig godt i arbeidet med misoppfatninger. Mange misoppfatninger kommer av at elevene har oppdaget et mønster, og så trekker ugyldige slutninger og generaliseringer på sviktende grunnlag. I noen tilfeller vil dette gi riktig svar, uten at elevene nødvendigvis har forstått det de skal.

Misoppfatning Oppgave
Null som plassholder 1, 2, 5, 9
Desimaltall som par av hele tall 2, 3, 4, 6, 7, 8
Antall desimaler avgjør størrelsen til tallet 3, 6, 7

 

Undervisningsopplegg knyttet til Tall

På denne siden finner du eksempler på undervisningsopplegg som er gode for å bygge solide begreper innenfor området tallDisse undervisningsoppleggene er publisert i Matematikksenteret sin undervisningsoppleggbank, og vil derfor bli åpnet i egen fane.

For å få fullt utbytte av ressursene nedenfor er det viktig at læreren har god kjennskap til de ulike misoppfatningene vi har beskrevet over. I tillegg må læreren ha satt seg inn i den helhetlige tenkingen rundt god undervisning i matematikk. Dette gjelder for alle elever, også elever som er i en misoppfatning. 

Det vil også være relevant å bruke undervisningsopplegg fra kategorien Tallregning.

Telle med 0,3 fra 0,3 

Aktivitet der klassen teller i kor. De starter på 0,3 og teller med 0,3 om gangen. I denne aktiviteten får elevene øvelse i å håndtere tidelsoverganger. Hva skjer når de teller og får en heltallsdel? Hva skjer med de elevene som eventuelt er i misoppfatningen om desimaltall som par av hele tall da?

 

Telle 0,3 elever lytter 

Multiplikasjon med 10

Aktivitet der elevene skal ta stilling til påstander rundt hva som faktisk skjer når man mulitipliserer med 10. Dette utfordrer tenking rundt posisjonssystemet og null som plassholder.

Bilde lapper x102

Når kan du se bort fra nuller

Diskusjonsoppgave som omhandler posisjonssystemet og null som plassholder. Her må elevene diskutere og begrunne.

Bildet til talle t0.png