Deling av drops

Denne oppgaven er egentlig et kombinatorisk problem, men egner seg godt til å bygge opp tallforståelse på alle nivå. Den gir dessuten god trening i å systematisere, tenke logisk, argumentere, og holde orden på et i utgangspunktet uoversiktlig tallmateriale.

Man kan bruke konkretiseringsmateriell som for eksempel runde tellebrikker i den eksperimenterende fasen av problemløsingen.

Drops

Slikt materiell kan være helt nødvendig for at mange elever skal forstå hva oppgaven går ut på, kunne klare å løse den, og presentere løsningen.

Problemstillingen

Dere er tre personer. La gjerne elevene arbeide i treergrupper. Hvis det ikke går opp, kan det være veldig spennende for de minste å være to + en usynlig venn. De litt eldre elevene kan tenke seg at det er tre personer.

Dere har fått noen drops som skal fordeles etter følgende regler:

  • alle skal ha minst et drops hver
  • det er avgjørende hvem som får hvilket antall drops - det vil si at en fordeling av 5 drops (2,2,1) er forskjellig fra fordelingen (2,1,2)

Hvordan, og på hvor mange måter kan dere fordele 5 drops?

Elever på 5.- 7. årstrinn kan gjerne starte med 7 til 10 drops. Elever på 8.-10.årstrinn eller i videregående skole kan starte med så mange drops at det blir kaos til å begynne med.

Poenget er at de skal oppdage at de må finne en systematisk måte å fordele drops på for å vite at de har fått med alle mulighetene. La dem for eksempel arbeide med 22 drops.

Nedenfor er mulige løsninger skissert på 1.- 4. årstrinn, 5.- 7. årstrinn og 8.- 10. årstrinn. Eksemplene kan selvfølgelig også brukes til differensiering innenfor en elevgruppe eller klasse. Da vil alle arbeide med den samme problemstillingen, mens elevene får individuelle utfordringer på sitt nivå.

1.- 4. årstrinn

Fem drops skal fordeles. Elevene vil trolig ganske raskt oppdage at det er to ulike talltripler som kan brukes, nemlig (2, 2, 1) og (1, 1, 3). Det kan være et godt tips å be elevene sette opp de mulige fordelingene i en tabell, hvis dere ikke har jobbet med slike problemstillinger tidligere. Det kan se  slik ut:

Eva Anders Benedicte
1 2 2
2 1 2
2 2 1
3 1 1
1 3 1
1 1 3

 

La elevene forklare hva de har tenkt.
 

  • Er det noen som får like mange drops?
  • Hvor mange muligheter finnes det i hvert tilfelle?
  • Hva hvis det bare var 4 drops?
  • Hva er det minste antall drops man kan dele hvis alle skal få minst et drops hver?
  • Hvor mange muligheter finnes det?

Nå kan dere innføre en ny tabell:

Antall drops å fordele 3 4 5 6
Antall muligheter 1 3 6 ?

På dette nivået er det ikke å forvente at elevene skal se noe system. Men du som er lærer, drar kanskje kjensel på trekanttallene? Les eksemplene for høyere årstrinn, så vil du få mer innsikt i hva dette handler om.

Noen elever vil allerede på dette nivået kunne se at når det er to ulike antall drops (to som får likt antall og en som får noe annet), så er det 3 ulike måter å gjøre det på.

Når elevene skal fordele 6 drops, vil det komme inn to nye momenter:

Alle kan få like mange. Hvor mange ulike fordelinger er det da?
Alle kan få forskjellig (1,2,3). Hvor mange ulike fordelinger er det da? Da er det 6 ulike fordelinger, nemlig (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 3, 2), (3, 1, 2), (2, 3, 1), (3, 2, 1).

5.- 7. årstrinn

Sju drops skal fordeles. Elevene vil trolig prøve seg fram i starten, og litt tilfeldig finne ulike tall som til sammen blir 7. La dem holde på en stund, før du begynner å spørre om de tror de har funnet alle. Hvordan kan de holde oversikt?

De fleste elevene vil nok etter hvert finne de ulike talltriplene. Hvis det er nødvendig, kan du spørre hvor mange ulike måter de forskjellige talltriplene kan fordeles. Oppmuntre elevene til å lage tabeller som f.eks. kan se slik ut:

Eva Anders Benedicte Omstokkinger
1 1 5 3
1 5 1  
1 1 5  
1 2 4 6
1 4 2  
2 1 4  
2 4 1  
4 1 2  
4 2 1  
1 3 3 3
2 2 3 3

 

Det er til sammen 15 ulike fordelinger. Ikke alle elevene klarer å være så systematiske. De som ikke finner alle, kan prøve med færre drops.

Still nye spørsmål. Hva hvis det var flere drops? Hva hvis det var færre? Noen elever vil kanskje klare å se mønsteret.

Antall drops å fordele 3 4 5 6 7 8
Antall muligheter 1 3 6 10 15 21

De elevene som kommer så langt, kan prøve å beskrive tallmønsteret og forutsi hvor mange ulike fordelinger det blir hvis det er 9 drops som skal fordeles.

8.- 10. årstrinn og Vg1 - Vg2

22 drops skal fordeles. La elevene bli litt frustrerte i starten. La dem holde på en god stund, og finne en eller annen strategi for å systematisere dette.

Sannsynligvis vil flere grupper ha brukbare strategier. De kan likne på de som er beskrevet for tidligere årstrinn. Men noen vil nok også oppdage at de kan redusere problemet ved å holde antall drops som den ene personen skal ha, konstant (se nedenfor).

NB! La alle elevgruppene presentere sine løsningsforslag. Det er viktig at de får diskutere ulike strategier, og selv komme fram til det de mener er mest hensiktsmessig.

Hvis den første får 1 drops, skal de to andre fordele 21 drops. Det kan de gjøre på 20 måter:
 1-20
 2-19
 3-18
 4-17
 5-16
og så videre, ned til
 20-1

Hvis den første får 2 drops, skal 20 drops fordeles mellom de to andre. Det kan gjøres på 19 måter:
 1-19
 2-18
og så videre til
 19-1

Hvis de fortsetter slik ser, de at antall fordelinger totalt blir:
20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 210

Oppmuntre elevene til å finne en formel for summen av de n første naturlige tallene. Selv om de ikke har lært om rekker, er det ikke så vanskelig å innse at det er gjennomsnittet av minste og største tall multiplisert med halvparten av antall tall i rekka.

Nå kan de sjekke at dette stemmer for 3, 4, 5, 6 drops og så videre.

Antall drops å fordele 3 4 5 6 ... 22
Antall muligheter 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 ... 1+2+...+20=210

 

Antall drops å fordele n
Antall muligheter `((1+n-2)*(n-2))/2=((n-1)(n-2))/2`