Tallregning

Her ser vi på misoppfatninger innen området Tallregning, vi vil vise eksempler på diagnostiske oppgaver, gi korte analyser av oppgavene, og eksempel på elevsvar som kan tyde på at elever er i misoppfatninger.

Oppgavene er utviklet og prøvd ut av Matematikksenteret. Oppgavene tester om elevene er i misoppfatninger knyttet til regneoperasjonene, regler og algoritmer. Standardalgoritmene i matematikk er utviklet over flere hundreår og er effektive regnemåter, men det er ikke alltid lett for elevene å se tanken bak og forstå algoritmen. Manglende forståelse av algoritmer og prosedyrer kan bidra til misoppfatninger i matematikk. En del av vanskelighetene som avdekkes gjennom Diagnostiske oppgaver knyttet til tallregning, skyldes også problemer som er beskrevet under Misoppfatninger knyttet til tall

Fjerne og legge til nuller

Mange elever bruker reglene om å fjerne og legge til nuller uten å forstå reglene. Det er naturlig å tenke at dersom en tar bort én eller flere nuller for å gjøre utregningen enklere, må en legge på noen nuller i svaret. Kan en ta bort alle nullene? Hvor mange nuller skal svaret inneholde?  Fjerne og legge til nuller

Mange algoritmer og regler i matematikk bygger på mønster og egenskaper i posisjonssystemet. For å kunne bruke disse reglene riktig må elevene forstå hva som skjer med tallene når reglene brukes. Når de ikke har forstått logikken bak reglene, kan det føre til uhensiktsmessig og feil bruk. Reglene kan virke vilkårlige, og de bidrar ikke nødvendigvis til tallforståelse knyttet til posisjonssystemet.

I oppgaver med multiplikasjon eller divisjon med tierpotenser (10, 100, 1000 osv.) løser mange elever oppgavene ved å fjerne eller legge til nuller.

Eksempel på regler:
150 ∙ 30: Ta bort begge nullene, regn ut 15 ∙ 3, sett begge nullene inn i svaret.
150 : 30: Ta bort begge nullene, regn ut 15 : 3, ikke sett noen av nullene inn i svaret.

Elevene bør i stedet for regler få erfaringer med å bruke egenskapene til posisjonssystemet for å løse oppgavene.  Eksempler på utregninger med referanse til posisjonssystemet:
150 ∙ 30: 15 ∙ 10 ∙ 3 ∙ 10 = 15 ∙  3 ∙  10 ∙ 10 = 45 ∙  100 = 4500. 
150 : 30: Hvor mange ganger går tre tiere opp i 15 tiere eller hvor mye er 15 tiere delt på tre tiere?

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i en misoppfatning om å fjerne og legge til nuller når de skal multiplisere eller dividere tall med tierpotenser.

Fjerne og leggge til nuller_oppg.samlet.png

Analyse

Ved utprøving av oppgaver ser vi at mange elever svarer 25 når de skal dividere 2050 med 100. Feilsvaret kommer av at elever i misoppfatningen fjerne og legge til nuller på det å dividere med 100 som å fjerne to nuller, uavhengig av hvilken posisjon nullene har. Disse elevene fjerner de to nullene i 2050. Ved vår utprøving svarte omtrent 30 % av elevene i 6. trinn og 20 % av elevene i 9. trinn 25 i denne oppgaven. De andre feilsvarene i oppgaven kommer av at elevene fjerner én av nullene.

Når elever som er i en misoppfatningen om at å multiplisere med 10 er det samme som å legge til en null, vil svare 50,8 eller 5,80 når de skal multiplisere 5,8 med 10. De som svarer 5,80, «legger til en null» bakerst i tallet, mens de som svarer 50,8, «legger en null» til 5. Elever som svarer 50,80 ser trolig på desimaltall som par av hele tall. Denne misoppfatningen er beskrevet under Misoppfatninger knyttet til tall.

Når elevene skal regne ut 400 · 500, får de problemer med å «sette på nullene», siden både multiplikand og multiplikator er hele hundrere. I tillegg får vi en ekstra null siden 4 · 5 er lik 20, og det gjør det utfordrende hvis eleven har blitt forklart at «svaret skal inneholde like mange nuller som faktorene har til sammen».

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Fjerne%20og%20legge%20til%20nuller_1.png

Fjerne%20og%20legge%20til%20nuller_2.png

Fjerne og legge til nuller_4.png

Fjerne og legge til nuller_3.png

Fjerne og legge til nuller_5.png

Største minus minste siffer

Subtraksjon er en mye vanskeligere regneoperasjon enn addisjon, og elever som er usikre på tabellkunnskaper eller ikke har full forståelse av posisjonssystemet, vil ha problemer med subtraksjonsalgoritmen.

En vanlig feil hos elever som misforstår subtraksjonsalgoritmen er at de subtraherer det største sifferet fra det minste uavhengig av hvilket tall det hører til. Eksempel: 82 – 36 = 54 fordi seks minus to er fire og åtte minus tre er fem. Største minus minste siffer.png

Bakgrunnen for framgangsmåten kan henge sammen med måten subtraksjon blir introdusert på for elevene. Dersom de til å begynne med møter mange oppgaver der denne metoden gir riktig svar, vil noen elever generalisere framgangsmåten til å gjelde alle subtraksjonsoppgaver.
Eksempel: 78 − 33 = 45, fordi 8 minus 3 er 5 og 7 minus 3 er 4.

Det er viktig at læreren er bevisst på at denne misoppfatningen kan oppstå, og på et tidlig stadium presenterer subtraksjonsoppgaver der denne strategien ikke gir riktig svar. For eksempel kan regnestykket 23 − 8 være en introduksjon i subtraksjon for åtteåringer, og et utgangspunkt for å diskutere ulike strategier.

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i misoppfatningen største minus minste siffer.

Største minus minste siffer_oppg.samlet.png

Analyse

Ved utprøving av oppgavene foran, ser vi at omtrent 10 % av elevene i både 6. og 9. trinn svarer 342 eller 1742 i oppgaven uten kontekst (oppgave 1). Disse elevene bruker største minus minste siffer som framgangsmåte ved å ta 9 – 7, 6 – 2 og 10 – 7.

I de to andre oppgavene ovenfor skal elevene utføre subtraksjon i oppgaver med kontekst. Resultatet fra utprøvingen viser at var det langt færre elever på både 6.  og 9. trinn som brukte største minus minste siffer som framgangsmåte i oppgave 2 og 3 enn i oppgave 1. Det viser trolig at de i større grad opplever metodefrihet og muligheter til å reflektere over egne svar når oppgaven er i kontekst, enn når den er oppstilt.

De andre feilsvarene i oppgavene kommer av at elevene bruker en framgangsmåte eller en algoritme de ikke har forstått fullt ut. Typiske feil er feil i veksling.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Største minus minste siffer_1.png

Største minus minste siffer_2.png

 

Å dividere et lite tall med et stort tall er umulig

Kommutativ egenskap

Barn bygger sin første forståelse av de fire regneartene på erfaringer med små hele tall. Innlæring av divisjon skjer ofte gjennom delingsdivisjon, der oppgavene går ut på å dele et tall på et mindre tall. Dette konkretiseres ofte ved at en mengde blir fordelt likt på et gitt antall personer, gjerne som svar på spøsmål av typen: Hvor mye blir det til hver?

Dersom dividenden konsekvent er større enn divisoren, er det lett for at elevene overgeneraliserer og havner i misoppfatningen å dividere et lite tall med et stort tall er umulig.Å dividere et lite tall med et stort tall er umulig.png

Noen elever vil si at det ikke er mulig å løse slike oppgaver, mens andre løser oppgavene ved å snu divisjonen (reverserer). De tror at divisjon er kommutativ, på samme måte som multiplikasjon.

Gjennom utprøving ser vi at en del elever mener at 6 : 25 er det samme som 25 : 6, og at rekkefølgen av tallene ikke spiller noen rolle.

 

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i en misoppfatning om at å dividere et lite tall med et stort tall er umulig.

Å dividere et lite tall med et stort tall er umulig_oppg.samlet.png

Analyse

I oppgave 1 skal elevene velge riktig regneuttrykk som viser hvor mye én ballong koster, når Henrik betaler 50 kr for 300 ballonger. Resultatene fra utprøving viser at omtrent 40 % av elevene i 6. trinn og 50 % av elevene i 9. trinn svarte at regneuttrykket 300 vannballonger: 50 kr viser hvor mye én ballong koster. Noen av disse elevene begrunner valget sitt med at de ser at det skal være divisjon, men at det ikke er mulig å dele et mindre tall på et større tall.

Samme oppgave ble også prøvd ut i en annen variant der opplysningene kom i motsatt rekkefølge; «Henrik kjøper en pakke med 300 vannballonger og betaler 50 kr». I denne versjonen svarte omtrent 60 % av elevene i både 6. og 9. trinn at 300 vannballonger : 50 kr, altså større prosentandel enn i den første versjonen. Dette kan tyde på at elevene, i tillegg til at de tenker at å dividere et lite tall med et stort tall er umulig, er vant med at de skal ta det første tallet og dividere med det andre tallet.

I oppgave 2 ser viser resultatene at mange elever reverserer divisjonen. Noen elever skriver 8 : 4 = 2, mens andre skriver 4 : 8 = 2. Dette tyder på at elevene tar det største tallet og dividerer på den minste, selv om de skriver divisjonsuttrykket riktig.

Oppgaven med «Skolen til Lise har kjøpt 25 fotballer» tester også misoppfatningen å dividere et lite tall med et stort tall er umulig. Elevene skal velge riktig regnestykke som viser hvor mye en fotball veier, når fotballene til sammen veier 6 kg. Omtrent halvparten av elevene svarte 25 : 6, og det er også noen elever som svarer at 6 : 25 og 25 : 6 gir riktig svar.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Å dividere et lite tall med et stort tall er umulig_1.png

Å dividere et lite tall med et stort tall er umulig_2.png

Å dividere et lite tall med et stort tall er umulig_3.png

A dividere et lite tall pa et stort er umulig_5.png

 

Multiplikasjon gjør svaret større og
divisjon gjør svaret mindre

Når elever blir introdusert for multiplikasjon og divisjon, jobber de med tall som er større enn 1. Da vil de oppdage at produktet har større verdi enn faktorene, og at kvotienten har mindre verdi enn dividenden.

Dersom elevene bare får oppleve multiplikasjon som gjentatt addisjon, vil de utvikle en snever tankemodell for hva multiplikasjon er, og få et ufullstendig begrep om multiplikasjon. Mange vil overgeneralisere og mene at multiplikasjon alltid gir større svar enn utgangspunktet, fordi erfaringene med gjentatt addisjon tilsier det. Da blir det vanskelig å gjøre overslag i regneuttrykk som 324 ∙ 0,38.Divisjon gjør svaret mindre.png

Tilsvarende vil elever som møter divisjon bare som delingsdivisjon ikke kunne knytte en praktisk mening til divisjonsoppgaver der de må bruke målingsdivisjon. I delingsdivisjon kommer det fram i oppgaven hvor mange mengden skal fordeles på. Spørsmålet er hvor mye det blir på hver. Dersom divisoren er et desimaltall vil det være unaturlig for elevene å knytte situasjonen til divisjon.

Eksempel: 3 : 0,5.
Elevene kan for eksempel tenke at tre kroner skal deles på 0,5 barn. Det gir lite mening, men noen vil kunne resonnere seg fram til en løsning på problemet ved å bruke multiplikasjon (6 · 0,5 = 3). Dette er en fin strategi, men det er ikke opplagt for elevene at det er divisjon de skal knytte til situasjonen.

Derfor er det viktig at elevene får erfaringer med målingsdivisjon. I oppgaver med målingsdivisjon er det opplyst hvor mye det skal være i hver mengde. Svaret er hvor mange det rekker til.
Elevene kan for eksempel tenke at tre liter saft skal deles på flasker som rommer en halv liter hver. Hvor mange flasker må til? Her kommer det fram av situasjonen at det dreier seg om fordeling (deling).

Oppgaver

Her er tre oppgaver som kan egne seg til å undersøke om elevene er i en misoppfatningen multiplikasjon gjør svaret større og divisjon gjør svaret mindre.

Multiplikasjon%20gj%C3%B8r%20svaret%20st%C3%B8rre_oppg.samlet.png

Analyse

I oppgave 1 skal elevene ta stilling til tre påstander om regnestykket 578 · 0,69. Mange av elevene som svarer at svaret blir større enn 578 begrunner dette med at når vi multipliserer eller ganger blir svaret større. Resultatene fra utprøvingen viser at nesten 40 % av elevene i 6. trinn svarte at svaret blir større enn 578. Tilsvarende tall på 9. trinn er omtrent én av seksdel av elevene. 

Som elevsvarene viser kommer også samme tankegang fram når elevene skal ta stilling til påstander om 578 : 0,69.

Elevsvar

Her er noen elevsvar fra da oppgavene ble prøvd ut på elever fra 5. til 10. trinn.

Mulitiplikasjon gjør svaret større_1.png

Mulitiplikasjon gjør svaret større_2.png

Mulitiplikasjon gjør svaret større_3.png

Mulitiplikasjon gjør svaret større_4.png

 

Diagnostiske oppgaver Tallregning

Her finner du oppgavene som er omtalt under de ulike misoppfatningene innen Tall. Oppgavene er diagnostiske og oppfordrer i tillegg elevene til å forklare hvordan de har tenkt i hver enkelt oppgave. Dette er gjort for å enklere få innblikk i hvilke misoppfatninger elevene eventuelt er i. Oppgavene utgjør imidlertid ikke en diagnostisk prøve siden det er for få oppgaver som tester hver enkelt misoppfatning.

En metode som kalles My favourite no, er fin til å jobbe med oppgavene i klasserommet. Metoden går ut på at læreren plukker ut et spesielt interessant feilsvar etter at elevene har svart på oppgavene. Dette feilsvaret viser mye god og fornuftig tenking hos eleven, samtidig som det viser typiske feil eller tegn til misoppfatning. Trolig har andre elever i klassen tenkt på samme måte.

Noe av poenget med metoden er å løfte fram feilsvar som noe positivt i klasserommet. Dette passer veldig godt i arbeidet med misoppfatninger. Mange misoppfatninger kommer av at elevene har oppdaget et mønster, og så trekker ugyldige slutninger og generaliseringer på sviktende grunnlag. I noen tilfeller vil dette gi riktig svar, uten at elevene nødvendigvis har forstått det de skal.

Misoppfatninger  Oppgave
Fjerne og legge til nuller 2, 7, 9
Største minus minste siffer 1, 5, 10
Å dividere et lite tall med et stort tall er umulig  3, 6, 10, 12
Multiplikasjon gjør svaret større og divisjon gjør svaret mindre  4, 6, 8

Undervisningsopplegg Tallregning

På denne siden finner du eksempler på undervisningsopplegg som er gode for å bygge solide begreper innenfor området Tall. Disse undervisningsoppleggene er publisert i Matematikksenteret sin undervisningsoppleggbank, og vil derfor bli åpnet i egen fane.

For å få fullt utbytte av ressursene nedenfor er det viktig at læreren har god kjennskap til de ulike misoppfatningene vi har beskrevet over. I tillegg må læreren ha satt seg inn i den helhetlige tenkingen rundt god undervisning i matematikk. Dette gjelder for alle elever, også elever som er i en misoppfatning. 

Det vil også være relevant å bruke undervisningsopplegg fra kategorien Tall.

Kvikkbilde "2 · 4 + 3 · 4"

I denne aktiviteten får elevene erfaringer med ulike måter å se et antall på. De skal resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. 

Kvikkbilde%202x4%2B3x4%20figur.png

Multiplikasjon med 10

Aktivitet der elevene skal ta stilling til påstander rundt hva som faktisk skjer når man mulitipliserer med 10. Dette utfordrer tenking rundt posisjonssystemet og null som plassholder.

Bilde%20lapper%20x10-kopi_2.jpg

Halvering/dobling i multiplikasjon 

Her får elevene resonnere omkring egenskaper ved tall og regneoperasjoner. De skal bruke ulike representasjoner i utforskning og begrunnelse av egenskaper og strategier.

halv-dobbel.png

Nær blinken

Aktivitet som kombinerer tallforståelse, hoderegning og de fire regningsartene med ferdighetstrening på en spennende måte. 

 

Terninger i mange farger

Just add zero

For å belyse problematikken med å fjerne eller legg til nuller, kan filmen "Add zero" brukes som utgangspunkt for diskusjon. Da kan elevene selv være med på å diskutere problemstillingen og misoppfatningen. Kanskje kan arbeidet munne ut i et brev til produsenten, der elevene gjør rede for misoppfatningen og hva som faktisk skjer når vi multipliserer med 10?