Modul 6 - Simulering

Analog aktivitet

Kron eller mynt? Denne aktiviteten brukes av dommerne i ulike idretter, for eksempel fotball og håndball, for å avgjøre hvilket lag som får velge hvilken banehalvdel de skal ha i første omgang.

La elevene kaste en mynt. For hvert kast noterer de om utfallet blir mynt (M) eller kron (K). Alternativt kan man kaste en vanlig terning og registrere om den viser partall (P) eller oddetall (O). Aktiviteten kan gi oss en forståelse av store talls lov som er et viktig aspekt ved sannsynlighetsbegrepet.

Aktiviteten kan brukes til å undersøke to interessante forhold:

• Hvor mange M-er og K-er har det blitt etter 10 kast, 20, kast osv. opp til 50 kast. Blir det like mange av hver?
• Hvis man ser på rekken av kast, kommer det noen serier med mange K-er eller M-er etter hverandre? Hva er den lengste serien med enten K-er eller M-er?

Simulere - Kron eller mynt?

Kommentarer

Programmet på dette arbeidsarket inneholder tre figurer: Abby, Story-K og Story-M.

De tre figurene samhandler gjennom meldinger som Abby sender. Her må man merke seg et viktig prinsipp: De handlingene hver figur skal utføre må man lage mens den aktuelle figuren er aktivert. Det får man til ved å klikke på figuren under resultatvinduet.

Utforsk

Utforskingen blir mer effektiv om to eller tre arbeider sammen med hver deres oppdrag:

1. Lag programmet sammen i Scratch, kjør programmet og noter resultatene.
2. Hvor stor er forskjellen mellom de to utfallene etter 10 kast, 20 kast, 30 kast osv.?
3. Kom alle parene i klassen til samme resultat? Diskuter.
4. Lag en felles oversikt av klassens resultater og vurder tallene.

Kommentar

Undersøkelsen elevene gjør her kan danne grunnlag for en diskusjon om absolutt forskjell og relativ forskjell. Man kan ta utgangspunkt i noen resultater elevene har kommet fram til, eller benytte disse dataene som ble resultatet av en undersøkelse.

• 10 kast ga 3 K og 7 M. Forskjellen mellom dem er 4.
• 20 kast ga 12 K og 8 M. Forskjellen mellom dem er 4.
• 50 kast ga 27 K og 23 M. Forskjellen mellom dem er 4.

Den absolutte forskjellen er 4 på alle tre undersøkelsene. Den relative forskjellen er 0,4 på 10 kast, 0,2 på 20 kast og 0,08 på 50 kast.

Lag program som beregener antall prosent K og M

Utforsking

Nå kan dere observere langt flere kast. Dere kan for eksempel først ta 100 kast flere ganger.

For hver gang noterer dere antall prosent M-er og K-er.

1. Lag oversikt og vurder resultatene dere kommer til
2. Diskuter resultatene i klassen.

Gjenta med et større antall kast.

3. Hvor mange kast må man ta før man kan være nesten HELT sikker på at prosentene ligger i området 49-51?

Kommentarer

Elevene kan for eksempel sammenlikne og finne ut

• hvem som fikk den den største forskjellen
• om noen fikk 50- 50
• andelen av alle kastene i klassen som gir 49-50

Hvor mange M-er eller K-er kommer etter hverandre?

Programmet beregner hvor mange prosent M-er og K-er det blir – og hvor lang den lengste strengen er, dvs. hvor mange like, M-er eller K-er, som kommer etter hverandre.

La elevene gjette lengden på strengen om man tar 100 kast. Kjør programmet flere ganger med 100 kast og la elevene notere lengste streng for hver gang.

Gjenta med andre antall kast.

Kommentarer

Maksimum antall elementer i ei liste er 200 000. Det er derfor ikke noe poeng i å kaste flere ganger når man skal finne antall K-er eller M-er etter hverandre. Antall prosent K-er og M-er blir beregnet, men lengste streng gjelder bare for de 200 000 første.

Analog aktivitet

Hva vet elevene om utfall når man kaster en vanlig sekssidet terning?

Aktuelle spørsmål elevene kan diskutere:

• Er det vanskelig å få en sekser når man kaster en vanlig terning?
• Hvor stor er sjansen for å få en toer?
• Hvis man kaster 60 ganger, hvor mange enere kan man da forvente?

Hvis elevene har liten erfaring med slike spørsmålstillinger, vil det være en fordel å la dem samarbeide to og to om å kaste en terning og notere utfallet for hvert kast. Kaster hvert par 10-15 ganger får klassen en stor datamengde! Lag en frekvenstabell med resultatene fra alle gruppene. Er frekvensen på hver verdi likelig fordelt, eller er det noen verdier som skiller seg ut?

Et dataprogram kan utføre en simulering med mange kast på svært kort tid. Det gir elevene mulighet til å få erfaring med de store talls lov.

Oppdrag til elevene

Utforsking

La elevene kjøre programmet flere ganger. For hver gang programmet kjøres må elevene notere antall kast før det kom en sekser. Ta en oppsummering i klassen:

• Hvor mange ganger ble det en sekser på første kast?
• Hvor mange ganger ble det en sekser etter seks kast?
• Hvor mange ganger måtte det mer enn 15 kast til før det kom en sekser?
• Hva er høyeste antall kast før det kom en sekser.

Program som simulerer terningkast til det blir en sekser

Programmet lar deg velge antall testrunder, lagrer resultatet for hver testrunde i ei liste og gir informasjon om det største antall kast for å få seks.

Simulere terningkast - gjennomsnitt

Resultatvinduet kan for eksempel se slik ut, før og etter det blir kjørt.

Oppdrag til elevene

Lag et program

• der brukeren bestemmer antall terningkast programmet utfører
• som summerer verdien til alle kastene
• beregner gjennomsnittet av kastene

Kommentar

Elevene kan utfordres på å lage dette programmet fra bunnen av.

Elever som sliter med å komme i gang kan få et flytskjema å arbeide ut fra arbeidsark 06d - Flytskjema gjennomsnitt.

Noen vil kanskje også ha behov for et påbegynt program som de fullfører:

Gjennomsnittet kan beregnes enkelt slik: .

Hvis antall gjentakelser ikke er et «fint tall», kan gjennomsnittet komme med mange desimaler. 

Det er mulig å få gjennomsnittet avrundet til to desimaler med dette oppsettet:

Tilbakemeldingen blir da:

Utforsking

La elevene kjøre programmet mange ganger med samme antall kast.

For hver gang programmet blir kjørt markerer elevene gjennomsnittet på ei tallinje.

Start med 20 kast. Kjør programmet minst 10 ganger og marker hver gang gjennomsnittet på tallinja. Øk antall kast og kjør programmet med dette antallet minst 10 ganger. Marker gjennomsnittene på ny tallinje.

Når elevene har samlet nok data med forskjellige antall kast er det tid for en samtale om resultatene. Start gjerne med disse to spørsmålene

• Hva legger dere merke til?
• Er det noe dere lurer på?

Oppdrag til elevene

Utforsking

Hvis klassen samler resultatene fra flere grupper til en felles utforsking, får man et stort tallmateriale å studere. For enkelhets skyld kan det være lurt å velge et antall kast som gjør sammenlikning av utfallene enklere.

Hvis alle starter med 60 kast, vil forventningen være 10 av hver verdi. Får noen grupper frekvens 10 på en eller flere verdier? Hva er det største avviket over/under frekvens 10?

Et eksempel:

Største avviket fra forventet frekvens er 4.

Fortsett med 600 kast og still samme spørsmål, men nå med 100 som forventet frekvens. Tenker noen elever at avviket nå blir større? Et eksempel:

På disse 600 kastene var det største avviket på 13.

Er det et større avvik enn 4 på 60 kast?

Undersøk også med 6000 kast.

Oppdrag til elevene

Kommentar

Når man kaster to vanlige terninger, kan ikke summen bli 1. I listen med frekvenser vil verdien på 1 alltid være 0:

Når vi tar med 12 elementer i listen, får vi en fin frekvenstabell. Det blir samsvar mellom elementnummer og SUM. Som bildet viser, skjedde det 17 ganger at summen ble 2 på de 600 kastene.

Noen elever vil kanskje undre seg over at summen aldri blir 1. Det blir en fin liten resonneringsutfordring av det!

Vi forventer flest summer på 7 når vi kaster to vanlige terninger slik denne simuleringen viser.

Programmet elevene lager er utvidet slik at det også lager et stolpediagram av frekvensene.

Men hvor vanlig er det med en slik fordeling? Hvor ofte har andre verdier enn 7 størst frekvens? Hvor mange ganger må vi kaste for å være rimelig sikker på at frekvens 7 blir størst?

La elevene lage en hypotese og så undersøke den med programmet.

Hint: Skal man kjøre mange simuleringer mange ganger, kan det lønne seg å fjerne blokka vent 0.1 sekunder og skru på turbofart:

Programmet kan enkelt endres slik at man bruker andre terninger, for eksempel en tierterning og en sekserterning. Bare pass på å få et tilstrekkelig antall elementer i listen.

Utforsking

Det fins fysiske terninger med 4, 6, 8, 10, 12 og 20 sider. Men med et dataprogram kan man velge så mange sider man ønsker! Her er det bare å kaste seg ut i utforskingen.

Hva er vanligste summer å få når man kaster terninger med verdier

• 1-6 og 1-10
• 1-8 og 1-12

Undersøk videre selv. Når dere har fått noe erfaring, kan dere velge to terninger og så prøve å lage hypotese på verdier som får størst frekvens før dere de undersøker hypotesen med dataprogrammet.