Grupper med tre elever

Deling av drops - et kombinatorikkproblem

Deling av drops

Elevene skal utvikle varierte og hensiktsmessige strategier for å løse tilsynelatende uoversiktlige kombinatoriske problem.

Emne

Kombinatorikk

Hensikt

Elevene skal utvikle varierte og hensiktsmessige strategier for å løse tilsynelatende uoversiktlige kombinatoriske problem. Videre skal elevene få øvelse i å presentere egne idéer og løsninger muntlig og skriftlig med et godt fagspråk og hensiktsmessig bruk av symboler.

Valg av tidspunkt

Dere kan gjennomføre opplegget som en oppstart til kombinatorikk og sannsynlighetsregning, eller som avslutning på kombinatorikktemaet. Hvis dere gjør det som en avslutning, eller i alle fall etter å ha holdt på med kombinatorikk en stund, vil elevene kunne komme fram til mer avansert bruk av fagspråk og matematisk notasjon.

Du trenger

Tellebrikker, centikuber eller andre små gjenstander.

Beskrivelse av opplegg

Arbeidsform:

Det ideelle er å lage grupper med tre personer. Hvis det ikke går opp med antallet, kan det være to på en eller to grupper hvor de kan ha en «usynlig venn».

Elevene får oppgaven presentert muntlig, og løser den i grupper, etterfulgt av klassesamtale styrt av læreren.

Undervisningsopplegget:

Forklar oppgaven nedenfor muntlig for elevene. Hver gruppe har på forhånd fått utdelt 26 tellebrikker.

Oppgaver:

Tre elever skal dele 26 drops. Hver elev skal ha minst et drops. På hvor mange måter kan elevene fordele dropsene?

Oppfølgingsoppgaver:

  • Hva hvis det var 27 drops? – 30 drops? –n drops?
  • Hva hvis det var 4 elever? – 5 elever? – m elever?

Kommentarer til læreren:

Ikke fall for fristelsen til å lede elevene inn på spesielle løsningsmetoder og tenkemåter. Tenk heller gjennom hvordan du kan oppmuntre dem til å gå videre på en idé de selv kommer med. Under oppsummeringen kan elevene i fellesskap vurdere de ulike løsningsforslagene, og sammen tenke ut hvilke som kan generaliseres til enda mer kompliserte situasjoner.

Eksempler på elevsvar

Eksempel 1

Elevene lager en tabell for hver gang den ene på gruppa får et bestemt antall drops:

Martin 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1
Oda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 24
Nora 24 23 22 21 20 19 18 17 16 ... 1

= 24 måter

Martin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... 2
Oda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 23
Nora 23 22 21 20 19 18 17 16 15 ... 1

= 23 måter

osv  24 + 23 + 22 + 21 + … + 1 måter

Kommentar: Dette er summen av de (n-2) første naturlige tallene, der n er antall drops, altså

`((n-1)(n-2))/(2)` ulike måter å dele dropsene på.

 

Eksempel 2

Gruppa gjør følgende notater:

8 – 8 – 10

8 – 10 – 8

10 – 8 – 8

10 – 10 – 6

10 – 6 – 10

6 – 10 – 10

 9 – 9 – 7

9 – 7 – 9

 9 – 9 – 7

7 – 9 – 10

7 – 10 – 9

9 – 7 – 10

9 – 10 – 7

10 – 7 – 9

10 – 9 – 7

 2 like: 3 måter, 3 ulike: 6 måter

Kommentar: Gruppa prøver å sortere i tilfeller med a) to like og et ulikt antall, eller b) tre ulike antall drops til hver. I tilfellet med 26 drops går det ikke an at alle får likt antall.                                                                                                            

Eksempel 3

Gruppa har ingen notater, men de diskuterer om det kan være 26! Eller kanskje noe med 26! : 3! ?

Kommentar: Denne gruppa er på feil spor.

 Eksempel 4

Gruppa begynner med 3 drops. Da er det 1 måte. 4 drops gir fordelingen 1, 1, 2 på 3 måter. 5 drops gir fordelingene 2, 2, 1 på 3 måter og 1,1,3 på 3 måter. Det vil si 6 til sammen.

De lager denne tabellen:

Antall drops Antall måter
3 1
4 3
5 6
   

De diskuterer om de kan se et mønster.

Kommentar: Denne gruppa er på vei til å se trekanttallene i høyre kolonne. Det er trekanttall nummer (n-2) som er løsningen hvis det er n drops.

Eksempel 5

Gruppa prøver usystematisk å lage tre mengder med med sum 26.

Kommentar: Denne gruppa vil ende opp i kaos.

Eksempel 6:

Gruppa legger alle 26 dropsene på en lang rekke med mellomrom mellom. Så finner de ut at problemet kan løses ved å legge to fyrstikker i to av de 25 mellomrommet. På denne måten finner de løsningen ved å bestemme på hvor mange måter du kan velge to ulike mellomrom når du har 25 å velge mellom. Det er `((25),(2))` forskjellige måter.

Husk at `((n),(k))= (n!)/(k! (n-k)!`, så `((25),(2))` = `(25·24)/(2) = 300`

deling%20drops.png

Kommentar: Denne gruppa har en løsningsmetode som kan generaliseres til n drops og m elever. De har brukt en modell som viser at problemet kan sammenliknes med å velge to av tallene fra 1 til 25, ved å tenke at to av 25 steder vil dele dropsene i tre mengder. Hvert valg vil gi en ny løsning. Med n drops og m elever, blir det `((n-1),(m-1))` ulike måter å fordele dropsene på.

Oppsummering:

Underveis i gruppearbeidet, går du rundt til gruppene og noterer hva slags metoder de har brukt. Velg ut en god rekkefølge, og be alle gruppene vise fram sine løsninger. De kan presentere det muntlig, ved å vise med brikkene, eller tegne og skrive på tavla.

Pass på at elevene får vist de ulike metodene, og utfordre elevene på hvilke av metodene som er effektive, forståelige, kan generaliseres og så videre.

Vurdering:

Gi elevene et blankt ark hver. Spør i klassen: Hvor mange måter kan dropsene fordeles på hvis det er 3 elever og 13 drops?

Alle skal skrive tallsvaret med store tall på arket og holde det opp så du kan se det. På den måten får du en sjekk på hvor mange som har fått med seg en rask måte å løse problemet på.

Forslag til videre arbeid:

Gi alle elevene i oppdrag å skrive en «artikkel» der de presenterer problemet og løsningen sin. De skal tenke seg at de skriver til en person som kan like mye matematikk som dem, men som ikke har hørt om dette problemet før. Be elevene være nøye med å bruke presise matematiske formuleringer, og finne en god notasjon.

De skal få vurdering på arbeidet. La gjerne elevene lese hverandres utkast, og gi respons til hverandre før de skal levere det endelige resultatet til deg.

Kompetansemål

Etter 10. årssteget - Statistikk, sannsyn og kombinatorikk
drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem
Matematikk R1 - Kombinatorikk og sannsynlighet
drøfte kombinatoriske problemer knyttet til ordnede utvalg med og uten tilbakelegging og uordnede utvalg uten tilbakelegging, og bruke dette til å utlede regler for beregning av sannsynlighet