Fire kort

Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. 

Dette opplegget er utviklet som en del av prosjektet Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning.

Kortstokk, skrivesaker og papir, tavle.

Forklar reglene for spillet.

• Bruk fire kort med verdi 1 - 4
• En spiller er A, en er B
• A blander kortene
• B trekker to kort
• A vinner om summen er partall
• B vinner om summen er oddetall
• Spill minst 10 ganger uten å bytte rolle som A og B
• Noter resultatet for hver gang.

Elevene spiller to og to. Må noen være tre sammen, får den tredje oppgaven med å notere poeng. Læreren går rundt og sjekker at alle har forstått reglene og stopper spillet når alle har spilt minst ti omganger.  I oppsummeringen begrunner elevene hvorfor de synes at spillet er rettferdig eller ikke.

Resultatene fra alle gruppene noteres på tavla. Diskuter fordelingen av poeng for A og B før elevene igjen skal vurdere om spillet er rettferdig og begrunne sine synspunkter. Etter at elevene har konkludert med at det er flere muligheter for å få oddetall enn partall, får de i oppgave på lage spillet rettferdig. De kan da velge fire av kortene med verdier 1-9.

Matematiske sammenhenger

Opplegget passer best i klasser som ikke har mye erfaring med å søke etter mulige kombinasjoner, men bare vil vurdere rettferdigheten ut fra det de har erfart når de spiller. Normalt vil B vinne selv om vi bare blander og trekker kortene 10 ganger. Ofte vil det skje med knapp margin. Men med så få trekk kan det forekomme både at spillet ender uavgjort og at A vinner. Ser vi bare på resultatene fra 10-15 trekk, kan vi godt konkludere med at spillet er rettferdig. Men når resultatene fra alle gruppene i klassen samles, får elevene et bedre empirisk grunnlag for vurderingen sin. De fleste vil da kunne se at det er størst sjanse for at B vinner. Med dette utgangspunktet kan vi se effekten av de store talls lov som sier at jo flere forsøk vi gjør, jo større er sjansen for at vi får et resultat som ligger tett opp til den teoretiske sannsynligheten – om den kan beregnes.

Den teoretiske sannsynligheten for summen av de to kortene kan vi finne med en systematisk gjennomgang av mulige kombinasjoner. En systematisk undersøkelse av mulige kombinasjoner kan gjøres på to måter:

12 kombinasjoner:     1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5,
3 + 4 = 7, 4 + 1 = 5, 4 + 2 = 6, 4 + 3 = 7.

Seks kombinasjoner:     1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 3 + 4 = 7

Av de 12 kombinasjonene gir åtte oddetall og fire gir partall. Siden det her er snakk om utvalg uten tilbakelegging – en verdi kan kun velges en gang – er det tilstrekkelig å undersøke de seks kombinasjonene. Vi trenger altså ikke ta med 2 + 1 siden vi allerede har undersøk 1 + 2. 

I andre tilfeller må begge kombinasjonene regnes med. Det gjelder for eksempel når vi skal undersøke sannsynligheten for ulike summer av kast med to terninger. Da har vi utvalg med tilbakelegging. Om vi kaster en rød og en grønn terning, er det forskjell på om den røde terningen gir 1 og den grønne 2, eller motsatt. En ener og en toer kan vi få på to måter. Det er to forskjellige utfall som vil fylle hver sin rute i tabellen. Men er det samme verdi på begge terningene fyller vi bare ei rute i tabellen som viser alle utfallene. Disse utfallene er markert med gult i tabellen.

Et rettferdig spill kan lages ved å bytte ut for eksempel 1-eren med 6-eren. Det kan vi se ved å sette opp de seks mulige kombinasjonene og se at tre av summene er partall og tre er oddetall. Da har vi vist ett tilfelle av et rettferdig spill. Vi kan gå videre og argumentere for at vi får et rettferdig spill uansett, bare vi velger ett oddetall og tre partall slik den ene jenta i denne filmen gjorde. 

Rettferdigheten ligger altså ikke i disse fire spesielle verdiene (2 - 6). Dette argumentet kan også uttrykkes i det matematiske symbolspråket. Når vi velger ett oddetall og tre partall har vi fire tall som kan skrives slik: 2a + 1, 2b, 2c og 2d. Ser vi nå på de seks kombinasjonene, får vi: 2a + 1 + 2b = 2(a + b) + 1 (oddetall), 2a + 1 + 2c = 2(a + c) + 1(oddetall), 2a + 1 + 2d = 2(a + d) + 1 (oddetall), 2b + 2c = 2(b + c) (partall), 2b + 2d = 2(b + d) (partall), 2c + 2d = 2(c + d) (partall).

Tilsvarende begrunnelse på tre nivåer kan vi også bruke for at spillet blir rettferdig om vi har tre oddetall og ett partall, og at det blir urettferdig med to partall og to oddetall.