En dobbelttime
Hel klasse og par/små grupper

Rotasjon i GeoGebra

Rotasjon i GeoGebra

Emne

Kongruensavbildning, rotasjon, mangekanter, GeoGebra

Hensikt

Målet med opplegget er at elevene skal bli kjent med egenskapene til rotasjon. De skal utvikle forståelse for hva som skjer når vi roterer et objekt, hva som kjennetegner et rotasjonssymmetrisk objekt, hvordan de finner rotasjonssenteret til en slik figur, hva rotasjonsvinkel er, og hvordan de finner rotasjonsvinkelen.

Valg av tidspunkt

Introduksjon til rotasjon.

Du trenger

En PC med GeoGebra og et elevark til hvert par/hver elevgruppe.

Beskrivelse av opplegg

Elevene skal oppdage hva som skjer når de roterer en figur. Elevene må kjenne til ulike todimensjonale figurer og deres egenskaper (vinkler, kanter og hjørner). De må også kunne tegne likesidede/regulære mangekanter, måle vinkler og lage glidere i GeoGebra.

Aktivitet 1

Undervisningsopplegget starter med at vi viser en animasjon av en trekant som roterer om et punkt. Fokuset skal være på rotasjon som kongruensavbildning (formen er bevart etter rotasjon) og hva som skjer med hjørnene til figuren under rotasjonen. Animasjonen heter Rotasjon, og vi finner den på www.geogebra.org/u/matematikksenteret (eller lager den selv). Det er mulig å bevege på glideren for å rotere figuren samt rotere automatisk med start- og stoppknappen. GeoGebra kan vise originalfiguren og rotasjonsvinkelen, i tillegg til den roterte figuren. Det gjør det lett å se at 360° er en hel omdreining siden den roterte figuren dekker originalfiguren. I animasjonen er det satt på sporing på hjørnene slik at elevene kan følge bevegelsen til punktene. Ved å stoppe animasjonen, dra i et hjørne eller flytte hele figuren og så starte animasjonen igjen flere ganger, får elevene varierte erfaringer med rotasjon.  Vi lar elevene bestemme hvilke endringer vi gjør og vi lar de prøve å forutse hva som kommer til å skje. Samtidig passer vi på å få undersøkt hva som skjer når rotasjonssenteret er utenfor, på og innenfor figuren.

12-1%20Animasjon%20med%20spor.png

Så diskuterer vi i helklasse hva vi har sett. Hvorfor tegnes det sirkler? Hva betyr tallene på glideren? Hvor ligger figuren hvis glideren står på 90° eller 180°? Her kan det også være lurt å spørre om hva som skjer når man roterer med 360°, 540° eller 720°. Disse vinklene er godt kjente for elever som liker snowboard eller skateboard, noe som gjør det lettere å knytte rotasjon til noe de kan fra før. Og hvor er vinkelen GeoGebra måler? Ved å klikke på vinkel i animasjonen kommer to linjestykker mellom punkt på originalfiguren, rotasjonssentrum og punkt på den roterte figuren fram, i tillegg til vinkelen mellom linjestykkene. Vinkelen vokser i takt med glideren, men starter på nytt etter 360°. Hvorfor gjør den det?

12-2%20Animasjon%20med%20vinkel.png

Aktivitet 2

Etter klassediskusjonen arbeider elevene videre i par eller små grupper med å utforske likesidede mangekanter i GeoGebra. Elevene skal finne ut hvor mange grader de må rotere mangekanten for å få den roterte figuren til å dekke originalfiguren. Må de alltid rotere 360°, eller er det mulig å rotere med en mindre vinkel? Elevene vil oppdage at plasseringen av rotasjonssenteret er avgjørende for at de skal kunne dekke originalfiguren ved å rotere med en vinkel som er mindre enn 360°.

Elevene starter med en ny GeoGebra-fil. Vi skal kun vise elevene ikonet for Rotasjon og hvordan de bruker det. Elevene får så utlevert et elevark med en likesidet sekskant, et kvadrat og en likesidet trekant. Det er viktig at elevene får prøve (og feile) uten at vi kommer med løsningene. Elevene har lært nok om rotasjon til at de kan klare å løse oppgavene, og jo mer elevene får prøve selv, jo bedre blir de til å bruke GeoGebra. Det digitale verktøyet hjelper elevene med å utvide forståelsen av geometri, og elevene opplever også opplæringen i det digitale verktøyet som relevant når den skjer samtidig som de arbeider med matematiske problemer.

Rekkefølgen på oppgavene er valgt bevisst. Elevene ser sammenhengen med vinkler bedre i en sekskant enn i en trekant. Det er også enklere å finne midtpunktet i mangekanter hvor antall sider er et partall enn et oddetall, så det å starte med for eksempel en femkant vil ødelegge mye av eksperimenteringen.

Vi går rundt og observerer hvordan elevene angriper problemet. Tenker elevene før de velger en verdi for vinkelen, eller prøver de seg bare fram? I motsetning til konstruksjoner på papir gjør GeoGebra det mulig å tegne alle mulige regulære mangekanter og velge alle mulige vinkelstørrelser. Elevene ser med en gang om løsningen stemmer. Angre-knappen gjør det lett å prøve på nytt hvis resultatet ikke blir som forventet.

Elevene løser problemet ved utforsking. Først må de finne ut hvilken betydning plasseringen av rotasjonssenteret har, og hva som skjer når de roterer med ulike vinkler. Deretter må de diskutere og resonnere seg fram til hvorfor akkurat disse vinklene fungerer når rotasjonssenteret er plassert i midten av mangekanten. Etter å ha argumentert for løsningene sine, skal de finne en generell regel som gjelder for alle likesidede mangekanter når rotasjonssenteret er plassert i midten av figuren. Elevene vil også oppdage at det er enklere å finne midtpunktet hvis antall sider i mangekanten er et partall enn et oddetall. Hvorfor er det slik?

12-3%20Midtpunkt%20i%20mangekanter.png

 

Når elevene skal finne fram til matematiske sammenhenger ved prøving og feiling, er det avgjørende at vi som lærere er trygge på verktøyknappene elevene kan komme til å bruke i GeoGebra, og at vi har tenkt gjennom hva som kan skje i utforskingsprosessen. Vi skal ikke gi elevene løsningene ved å forklare hvordan de skal tenke, men i stedet legge til rette for at elevene kan starte med et enkelt problem før de løser mer komplekse problemer. Målet er at elevene kan finne rotasjonssentrum og rotasjonsvinkel til en hvilken som helst likesidet mangekant.

Oppsummering

Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Vi velger ut elever som skal presentere arbeidet sitt basert på observasjonene vi har gjort underveis. Det er viktig å velge ut elever som har brukt forskjellige løsningsmetoder. Vi passer samtidig på å forklare og ta i bruk relevante matematiske begreper som rotasjonssymmetrisk, rotasjonssentrum og rotasjonsvinkel.

Kompetansemål

Kompetansemål etter 6. trinn
utforske og beskrive symmetri i mønster og utføre kongruensavbildingar med og utan koordinatsystem
Kompetansemål etter 6. trinn
bruke variablar, lykkjer, vilkår og funksjonar i programmering til å utforske geometriske figurar og mønster