2-3 skoletimer
Hel klasse

Figurtall, følger og rekker - Ramme

Tellebrikker

Emne

Mønster og sammenhenger.

Dette opplegget er hentet fra heftet Undersøkende matematikkundervisning i videregående skole II.

Hensikt

LÆRINGSMÅL
• Eleven skal gjennom praktisk arbeid finne mønster og sammenhenger.
• Eleven skal finne både rekursiv og implisitt formel for mønster.
• Eleven skal finne sammenhenger mellom forskjellige representasjoner.
• Eleven skal vise at algebraiske uttrykk er like.
• Eleven skal anvende algebra i praktiske sammenhenger.
• Eleven skal bruke digitale hjelpemidler til å finne og/eller bekrefte svaret.
• Eleven skal finne kjennetegn for aritmetiske og geometriske rekker.
• Eleven skal beregne summen og grenseverdier av aritmetiske og geometriske rekker.

Felles for disse oppleggene er at elevene skal finne frem til et matematisk uttrykk. De fleste starter
med at elevene bygger figurer. Elevene vil besvare oppgavene på forskjellige måter. Av den grunn
er det viktig at man fører en klassesamtale i etterkant der de ulike strategiene og løsningene blir
sammenlignet.

Du trenger

Firkantede tellebrikker

Beskrivelse av opplegg

Opplegget har tre aktiviteter, hver av dem med utgangspunkt i oppgaver som læreren gir elevene muntlig.

AKTIVITET 1
• Tenk deg et kvadrat laget av 81 kvadratiske brikker. De ytterste brikkene i kvadratet kaller vi rammen. Hvor mange brikker er det i rammen?

Kommentar til læreren
Svaret 32 noteres på tavlen. Selve svaret er uinteressant, for i dette opplegget er det viktigere å fokusere på de ulike strategiene elevene bruker. Læreren skal notere alle de ulike fremgangsmåtene elevene har brukt for å komme frem til 32.

Figurtall-folger-og-rekker_ramme-1.JPG

AKTIVITET 2
• Tegn eller legg en figur som viser hvordan du har tenkt.
• Tegn eller legg figurer som viser andres tenkemåter.

Kommentar til læreren
Elevene blir først utfordret til å visualisere sin egen løsning ved å tegne den eller legge den med brikker. Etterpå skal de sette seg inn i løsninger som andre elever har presentert og tegne disse løsningene.

Figurtall-folger-og-rekker_ramme-2.JPG

AKTIVITET 3
• Alle figurene som er laget hittil, kaller vi for figur 9, da sidene er 9 brikker lange.
• Hvis det var n brikker langs siden, hvor mange brikker trenger man da til rammen? Start med å
lage eller tegne figur 4, 5 og 6.

Kommentar til læreren
Før utvidelsen til n bør elevene begynne med mindre kvadrater. Det går raskere og det er lettere å beholde oversikten dersom man legger få brikker. Derfor oppfordres elevene til å starte med et kvadrat med sidelengde 4, så et med sidelengde 5, for så å fortsette med sidelengde 6 osv. Det er en fordel at elevene samler resultatene i en tabell der de ikke bare noterer svaret, men også regnestykket som ligger bak. Da er det lettere å se hva som endrer seg og hva som forblir likt.
Overgangen fra tall til variabel er vanskelig for mange elever, og det er viktig at disse elevene får nok tid. Andre elever vil derimot finne formelen for n direkte ut fra samtalen i den første oppgaven. Hvis forklaringene er tydelige og tegningene er gode, er det bare å erstatte 9 med n. Disse elevene trenger selvsagt ikke å lage mange kvadrater, men trenger nye utfordringer. Se utvidelsen av oppgaven.

Figurtall-folger-og-rekker_ramme-3.JPG

Læreren må ta seg tid til å vise at alle tenkemåtene er riktige, og at alle formlene gir det samme svaret.
Det er viktig å vise at alle svarene er riktige ved å omforme dem algebraisk.

UTVIDELSE AV OPPGAVEN
Elevene oppfordres til å legge et rektangel og finne formler for rammen rundt figuren. Siden forholdet mellom sidene er valgfritt, vil denne oppgaven ha individuelle svar.

Kompetansemål

Matematikk 1P - Funksjonar
gjere greie for omgrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske døme, også digitalt
Matematikk 1P - Funksjonar
omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar
Matematikk 1P - Funksjonar
undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata
Matematikk 1T-Y - Funksjonar
gjere greie for funksjonsomgrepet og kunne omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar
Matematikk 1T-Y - Tal og algebra
omforme ei praktisk problemstilling til ei likning, ein ulikskap eller eit likningssystem, løyse det matematiske problemet både med og utan digitale verktøy, presentere og grunngje løysinga og vurdere gyldigheitsområde og avgrensingar
Matematikk 1T-Y - Tal og algebra
rekne med rotuttrykk, potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, faktorisere kvadratiske uttrykk, bruke kvadratsetningane og lage fullstendige kvadrat
Matematikk 2P - Funksjonar i praksis
bruke funksjonar til å modellere, drøfte og analysere praktiske samanhengar
Matematikk 2P - Modellering
analysere praktiske problemstillingar knytte til daglegliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjonar og beskrive samanhengar mellom storleikar ved hjelp av matematiske modellar
Matematikk 2P - Modellering
gjere målingar i praktiske forsøk og formulere matematiske modellar på grunnlag av observerte data
Matematikk 2P-Y - Funksjonar i praksis
bruke digitale verktøy til å undersøkje kombinasjonar av polynomfunksjonar, rotfunksjonar, potensfunksjonar og eksponentialfunksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å bestemme nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og finne gjennomsnittleg vekstfart og tilnærmingsverdiar for momentan vekstfart
Matematikk 2P-Y - Funksjonar i praksis
gjere greie for omgrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske døme, også digitalt
Matematikk 2P-Y - Funksjonar i praksis
omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar
Matematikk S1 - Algebra
omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere løsningens gyldighet