Mangekant + mangekant = mangekant

Dynamisk geometri, rettvinklet trekant, Pytagoras’ setning, areal

PC med GeoGebra.

Oppgave til elevene

• Ta bort rutenett og koordinatsystem.
• Tegn en rettvinklet trekant.
• Velg Glider og lag en Heltallsglider fra 3 – 15.
• Lag en Regulær mangekant på hver trekantside. Antall hjørner skal være navnet til glideren.
• Vis arealene.
• Dra i glideren.
• Lag en hypotese, og test den.

Kommentar til læreren

Gi oppdraget muntlig eller vis det på storskjerm. Tilpass forklaringene i oppgaven til elevene.  Kanskje er det lurt å lage glideren i hel klasse? Elevene kan lage en rettvinklet trekant ved å lage en rett vinkel eller ved å bruke Tales’ setning. Undervisningsopplegget Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant er et godt utgangspunkt dersom elevene ikke har laget en slik figur før. Når de har laget figuren, skal de undersøke den. Observasjonene støtter elevene i å utvikle en hypotese. Deretter kan de teste hypotesen, og eventuelt revidere den.

Elevene vil oppdage at Pytagoras’ setning stemmer uansett hvor mange sider den likesidede (regulære) mangekanten har. Elever som trenger ekstra utfordringer, kan teste om sammenhengen gjelder andre figurer også. For eksempel kan de undersøke halvsirkler. I GeoGebra er verdien til halvsirkler lengden av buen. For å finne arealet kan de regne det ut eller bruke verktøyet Sirkelsektor gjennom tre punkt.

Oppsummering

Dynamisk geometri gir elevene mulighet til å observere matematiske sammenhenger. Observasjonene beviser ikke en sammenheng, men de kan gi grunnlag for å lage en hypotese. Det er det viktig å få fram i klassesamtalen hvor elevene deler det de har funnet ut. Fortell gjerne at matematikere har bevist at sammenhengen gjelder så lenge figurene er formlike, og at det kan de selv også bevise etter hvert.

Utvidelse

For elever i den videregående skolen er å lage et bevis for at sammenhengen gjelder for likesidede trekanter, en fin introduksjon til bevisføring. Noen vil også kunne lage et generelt bevis for alle likesidede mangekanter. Utfordre gjerne elevene til å lese og prøve å forstå et bevis for at sammenhengen gjelder for alle formlike figurer (eksempel: https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#7).

Forslag til bevis for likesidede trekanter: