90 min.
Hele klassen

Andregradsfunksjoner IV

7-1

Emne

Funksjoner - nullpunkter til andregradsfunksjoner

Dette opplegget er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole"

Hensikt

Målet med opplegget er å gi elevene erfaringer med å se sammenhenger mellom andregradsfunksjoner og nullpunktene deres. Innled timen med å gjøre målet klart for elevene.

Du trenger

PC med GeoGebra (eller liknende programvare)

Beskrivelse av opplegg

Det er svært viktig med samtale og refleksjon. Her får du tips til arbeidets gang i løpet av økta. Ved behov for mer øving, så har lærebøkene flere gode øvingsoppgaver i dette emnet. Målet med opplegget er å gi elevene erfaringer med å se sammenhenger mellom andregradsfunksjoner og nullpunktene deres. Innled timen med å gjøre målet klart for elevene.

Kopieringsoriginaler

Oppgave 1

f(x) = (x + 2)(x + 3)
   a Er funksjonen f en andregradsfunksjon? Forklar.
   b Hva mener vi når vi snakker om nullpunktene til en funksjon?
   c Finn nullpunktene til funksjonen f.
   d Er det en sammenheng mellom nullpunktene og funksjonsuttrykket? Forklar.

Kommentar til læreren
Det kan passe å ta en runde i plenum etter oppgave 1. Spør elevene hvordan de har løst oppgavene. Be dem begrunne svarene sine. Pass på at de skriver ned svarene sine i boka. De vil finne nullpunktene x = –2 og x = –3. Be dem regne ut f(–2) og f(–3). Det er ikke alle som ser at disse to uttrykkene må bli lik 0:

Det at x = –2 gjør uttrykket (x + 2) = 0, og dermed funksjonsuttrykket lik 0, er en kunnskap som mange trenger gjentatte erfaringer med. At et produkt blir lik 0 når en faktor er lik 0, er noe mange forstår, men å se at vi utnytter denne egenskapen her, kan elevene trenge mange ganger.

Oppgave 2

g(x) = (x + 1)(x + 4)
a Finn nullpunktene til funksjonen g. Gjett først og skriv det du gjetter.    Tegn grafen og sjekk svaret ditt.
b Lag flere eksempler på funksjoner selv. Gjett først hvilke nullpunkter funksjonene dine har, før du    tegner grafen og sjekker.

Oppgave 3

h(x) = (x – 1)(x + 5)
   Finn nullpunktene til funksjonen h. Gjett først. Tegn grafen og sjekk svaret ditt.

Oppgave 4

Funksjonen k har nullpunkter i x = –2 og x = 3.    Skriv et funksjonsuttrykk som passer. Tegn grafen og kontroller.

Oppgave 5

p(x)= x2 – 5x + 4
   Finn nullpunktene til funksjonen p. Gjett først. Tegn grafen og sjekk svaret ditt.

Oppgave 6

Lag oppgaver til hverandre, gjett først og kontroller om svarene stemmer.
   Du kan lage oppgaver etter denne "oppskriften":
   Sett inn tall for p, q, r og s i uttrykket nedenfor og multipliser parentesene før du
   gir oppgaven til en medelev: f(x) = (px + q)(rx + s)

   For eksempel f(x) = (x + 3)(2x – 1). Her er p = 1, q = 3, r = 2 og s = –1.

   Da kjenner du nullpunktene (her x = –3 og x = `(1)/(2)`).

Kommentar til læreren
Sjekk at elevene forstår hva oppgavene her egentlig spør om. Organiser oppgave 6 slik at den passer godt til dine elever.

Forberedelse til oppsummering og oppsummering
På hvilke måter har elevene løst oppgavene? Har de gjort det på forskjellige måter? Har de brukt ulike strategier? Snakk med elevene og hør hvordan de tenkte da de løste oppgavene.

Kommentar til læreren
Hva er sammenhengen mellom andregradsfunksjonene og nullpunktene til grafene? La elevene presentere sine løsninger, tanker og formuleringer.

Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen. Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme på tavla, og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen.

Funksjoner tegnet i GeoGebra:

7-2.jpg

Kompetansemål

Matematikk 1T - Funksjonar
bruke digitale verktøy til å framstille og analysere kombinasjonar av polynomfunksjonar, rotfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Matematikk 1T-Y - Funksjonar
berekne nullpunkt, ekstremalpunkt, skjeringspunkt og gjennomsnittleg vekstfart, finne tilnærma verdiar for momentan vekstfart og gje nokre praktiske tolkingar av desse aspekta
Matematikk 1T-Y - Funksjonar
gjere greie for funksjonsomgrepet og kunne omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar