Matematikk R1, Eksempeloppgave med graftegner og CAS

Oppgaven er hentet fra Eksempeloppgave Matematikk REA3022 Matematikk R1 (Udir 2014, s. 9).

Del 2, oppgave 5

Posisjonen til et fly A og posisjonen til et fly B beskrives av vektorfunksjonene a(t) og b(t) gitt ved

a(t) = [ 70t + 2, 140t2 ] ,    t ∈ [0,t1]

b(t) = [ -204t + 17, 432t2 - 72t + 3 ] ,    t ∈ [0, t1]

graftegner11.PNG

Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt t1). Tiden måles i timer, og alle avstander måles i kilometer. Nedenfor ser du hvordan kursen er for de to flyene. x-aksen ligger langs landingsbanen, mens y-aksen er høyden over landingsbanen.

a) Bestem tidspunktet t1 for når fly B lander.

b) Bestem farten til fly B når t = 0,08

Vi ser at flyenes kurs krysser hverandre i punkt P.

c) Avgjør om flyene vil kollidere.

Løsningsforslag

For å få tegnet kurvene som viser ut- og innflygningsbanene til de to flyene, bruker jeg kommandoen Kurve[x-komponent, y-komponent, t, 0, 1] i GeoGebra. Et utsnitt av disse kurvene vises nedenfor. Vi er interessert i det som skjer fram til fly B lander ved tiden t1.

graftegner12.PNG

a) Fly B lander når y-komponenten til b er 0. Ved hjelp av CAS (rad 1) finner jeg at det skjer når t = 1/12, altså etter 5 minutter.

Fly B lander etter 5 minutter.

b) Jeg finner farten ved å regne ut lengden til fartsvektoren b'(t) når t = 0,08. I GeoGebra finner jeg denne ved å skrive fart = Lengde[b'(0.08)] i skrivefeltet.

Farten til fly B er 204 km/h når t = 0,08.

c) For å avgjøre om de to flyene vil kollidere, tegner jeg inn punktene A = a(t) og B = b(t). Med en glider kan jeg variere t, og jeg ser da at de to flyene ikke vil kollidere siden punktene A og B aldri befinner seg på samme sted samtidig. Figuren ovenfor viser flyene A og B omtrent når avstanden mellom dem er minst.

Flyene vil ikke kollidere.

Kommentarer

Det står ikke i oppgaven at elevene skal tegne flybanene, men det er en god vane å starte med en figur.  

  Framgangsmåte Didaktiske refleksjoner
 

a(t)=Kurve[70t + 2, 140t^2, t, 0, 1]

b(t)=Kurve[-204t + 17, 432t^2 - 72t + 3, t, 0, 1]

 Vektorfunksjoner beskrives som kurver i GeoGebra. Det gjelder både i skrivefeltet og i CAS.
a)  Løser jeg ligningen 432t^2-72t+3=0 i CAS. Eleven må vite at y = 0 ved landingstidspunktet.
b) Skriver fart = Lengde[b'(0.08)] i skrivefeltet.

Her skjer det mange ting på en gang. Vi finner fartsvektoren ved å derivere posisjonsvektoren til fly B. Deretter setter vi inn for t = 0.08, og beregner lengden av denne fartsvektoren. For mange elever vil det være lettere å forstå hva som foregår hvis man deler dette opp i flere trinn.
 c)

A=a(t)

B=b(t)

Glider for t-verdier mellom 0 og 0.08.

Oppgaveteksten stiller ingen bestemte krav til hvordan oppgaven skal løses. Metoden med glidere er direkte og intuitiv. Dersom denne oppgaven brukes i undervisninga, kan man med fordel drøfte også algebraiske løsningmåter.

Det er ikke spurt om når avstanden mellom flyene er minst. Ved hjelp av avstands-verktøyet i GeoGebra, får man lett opp avstanden mellom punktene A og B. Når t varierer, ser man at avstanden går ned mot 0,066 km når t = 0,055. En avstand på bare 66 m mellom flyene ved avgang og landing oppleves neppe som trygt...