Matematisk argumentasjon på barnetrinnet

Matematisk argumentasjon

Knudsen et al. (2018) mener at vi som matematikklærere må tenke gjennom hva «sannhet» i matematikk er. De mener at det finnes minst to ulike perspektiv. Tar vi det ene perspektivet ser vi matematisk argumentasjon som en sosial prosess, hvor sannhet etableres gjennom en enighet i en elevgruppe. I en slik sosial prosess vil matematisk sannhet være avhengig av hva elevene gjør sammen og aksepterer som regler for diskusjon og argumentasjon. Det andre perspektivet ser på sannhet uavhengig av om den er akseptert av elevgruppa eller ikke. I et slikt mer absolutt syn er ikke sannhetene oppe for diskusjon, de skal bevises og kan ikke ansees som sannheter før de er bevist. Mange av oss har med oss begge perspektiver samtidig, og det er derfor viktig at vi som matematikklærere er klare over ulikhetene.

Når elevene forklarer og begrunner løsningsstrategier, arbeider de innenfor det første perspektivet. De starter med å forklare hva de har gjort. Videre må elevene utfordres på å resonnere rundt hvorfor det går an å gjøre det slik, og når strategien fungerer og eventuelt ikke fungerer (Enge & Valenta, 2011). I en slik sosial prosess etablerer elevene sannhet gjennom enighet i gruppa. I denne bloggen tar vi utgangspunkt i dette perspektivet.

Alle lærere må legge til rette for at elevene får argumentere matematisk for påstander, slik at de får øvelse i logisk og kritisk tenking (Utdanningsdirektoratet, 2020). Undervisning i argumentasjon og bevis må ha sammenheng gjennom hele skoleløpet. Ved at elevene tidlig får erfaring med og gradvis utvikler kompetanse i matematisk argumentasjon, kan man unngå at det blir en uoverkommelig terskel på høyere klassetrinn (Stylianides, 2006).

Ved å la elevene arbeide med resonnering og matematisk argumentasjon i et matematikkfellesskap, unngår vi at elevene bare blir passive mottakere av innhold (Boaler & Greeno, 2000). I tillegg må vi gjøre elevene bevisst på at matematisk argumentasjon er noe annet enn argumentasjon i norsk eller samfunnsfag. I matematikk handler argumentasjon om å arbeide mot matematisk sannhet, heller enn å prøve å ta flere perspektiv og veie ulike argumenter opp mot hverandre. Knudsen et al. (2018) har laget en modell som beskriver hvordan matematikere arbeider, og hva som er viktige deler i argumentasjon (Figur 1). Modellen kan fungere som støtte for å planlegge undervisning innen matematisk argumentasjon.

Arbeid med argumentasjon på 7. trinn

Vi planla ei undervisningsøkt om argumentasjon i matematikk for 7. trinn. Læringsmålet for økta var at elevene skulle utvikle sin forståelse for matematisk argumentasjon. Arbeidet tok utgangspunkt i påstanden: Summen av tre påfølgende tall er alltid delelig med 3. (Du kan f.eks. bruke oppgaven Summen av tre påfølgende tall på MatteLIST.)

Vi startet med en diskusjon om hva påstanden betyr; Hva betyr påfølgende tall, og hva betyr delelig? Deretter delte vi elevene inn i tilfeldige grupper på tre og elevene arbeidet på vertikale tavler. Alle gruppene prøvde ut noen kontrete eksempler: De prøvde lave tall, høye tall og litt rare tall. Den første oppdagelsen gruppene gjorde var at når de delte summen på tre, endte de opp med tallet i midten. Elevene utviklet sin egen hypotese om at det alltid blir slik. Vi utfordret elevenes hypotese ved å stille spørsmål om hvor mange eksempler de måtte prøve for å være helt sikre: «I påstanden står det at det alltid er slik, hvordan kan vi vite det? Hva med de tallene som er så store at vi ikke klarer å si dem en gang, vil det gjelde da også?» Elevene hadde en hypotese om at det alltid vil bli tallet i midten av de tre. De resonnerte seg fram til at man kan flytte én fra det høyeste tallet til det laveste (se figur 2), og ende opp med tre like tall, det midterste tallet.

Videre fikk elevene spørsmål om hvordan de kan være sikre på at det alltid vil bli slik. Her fikk de behov for andre representasjoner, og vi tilbød dem to ulike: en symbolsk og en visuell. En gruppe var svært opptatt av starttallet. De fikk spørsmål om de kunne bruke t for å uttrykke det. Deretter kom de fram til at tallene kunne skrives som vist i figur 3.

Videre argumenterte elevene med at 3t + 3 er delelig med 3, fordi 3 ganger et tall er i 3-gangen og leddet 3 er delelig med 3.

En annen gruppe fikk spørsmål om de kunne bruke tegning av en søyle for å representere et tall, og hvordan de påfølgende tallene da kom til å se ut. Etter å ha resonnert en stund, kom de fram til dette (figur 4):

De påfølgende tallene ble representert som søyler, der den påfølgende søylen hadde én kloss mer enn den foregående. Tegningen viser at om de flytter den øverste klossen fra den høyeste søylen til den laveste, får de tre like høye søyler, som viser at summen alltid blir delelig på 3.

Økta ble avsluttet med en diskusjon der vi så på de to ulike representasjonene og sammenlignet dem. Vi diskuterte hvor vi finner t i den visuelle representasjonen, og hvor vi finner klossen som flyttes i den symbolske representasjonen. Elevene svarte at t er den første søylen, t + 1 er den andre søylen og t + 2 er den tredje søylen. Klossen de flyttet fra den tredje til den første søylen, representerer 1. Da fikk de tre like høye søyler, alle t pluss én kloss. Ved å legge søylene sammen, (t + 1) + (t + 1) + (t + 1), fikk de 3t + 3. Dette er et tall i 3-gangen, og dermed delelig med 3. Til slutt spurte vi elevene om hvilke tall den første søylen og t representerer. De var enige om at det kunne være hvilket som helst tall. Dermed var de også overbevist om at påstanden er sann.

I løpet av økta arbeidet elevene seg gjennom Knudsen et al. (2018) sin modell for arbeid med argumentasjon, og i den avsluttende diskusjonen framsto elevene faglig sikre på at argumentene deres holdt til å bevise at påstanden var sann. Elevene bidro med innholdet i diskusjonen, mens vi som lærere hjalp elevene med å se sammenhenger og knytte de ulike løsningene sammen. En av elevene uttrykte til og med at han nå var klar for å begynne å jobbe på Matematikksenteret!

Dette blogginnlegget har stått på trykk som artikkel i Tangenten nr. 03/2025