Å kunne regne i matematikk

Å kunne rekne i matematikk vil seie å bruke matematiske representasjonar, omgrep og framgangsmåtar til å gjere utrekningar og vurdere om løysingar er gyldige. Det inneber å kjenne att konkrete problem som kan løysast ved rekning, og formulere spørsmål om desse. Matematikk har eit særleg ansvar for opplæringa i å kunne rekne. Utviklinga av rekneferdigheiter i matematikk handlar om å analysere og løyse eit spekter av stadig meir komplekse problem med effektive og formålstenlege omgrep, symbol, metodar og strategiar.

Det å gjenkjenne og beskrive i matematikkfaget er kanskje en delferdighet som har fått for liten oppmerksomhet, eller en delferdighet som har blitt tatt for gitt.

For mange elever er møtet med tekstoppgaver også første gangen det blir stilt krav til at de skal gjenkjenne og beskrive et problem. Det kan være når elevene skal oversette fra et regneuttrykk til en tekst, eller motsatt. Elevutsagn, som «Jeg forstår ikke hva jeg skal gjøre», eller «Skal jeg gange eller dele?», tyder på at elevene kan ha utfordringer med delferdigheten gjenkjenne og beskrive. 

Å gjenkjenne og beskrive innebærer at elevene klarer å oversette et problem i en kontekst til et matematisk problem. Det kaller vi å matematisere problemet. For eksempel innebærer det å forstå en tekst og sette opp et regneuttrykk som gir svar på deler eller hele problemet. Det gjelder uavhengig av om elevene senere bruker kalkulator eller ikke for å utføre beregningene. For at elevene skal kunne matematisere kontekster, kreves det at de har forståelse av begrepene på de matematiske kunnskapsområdene de jobber med.

Det er verdt å merke seg at måten problemene er utformet på, avgjør hvor utfordrende det er å gjenkjenne og beskrive. Tabellen nedenfor viser noen eksempler. 

Selv om tall og store deler av teksten er identiske i eksemplene som er satt opp mot hverandre, stiller de ulike krav til elevene når det gjelder å gjenkjenne og beskrive problemene. Eksemplene 1a, 2a og 3a tar utgangspunkt i kontekster som trolig alle elevene identifiserer seg med. I eksemplene 1b, 2b og 3b er kontekstene noe endret, og stiller dermed større krav til elevene når det gjelder å gjenkjenne og beskrive matematikken i konteksten.

I eksempel 1b er det starten eller utgangspunktet som er ukjent, mens i eksempel 1a er det resultatet som er ukjent. I tillegg er rekkefølgen på tallene snudd om sammenlignet med eksempel 1a, og tallene har en annen rekkefølge i regneuttrykket enn det de har i konteksten.

I eksempel 2b er konteksten mer ukjent enn i eksempel 2a. I tillegg inneholder eksempel 2b begreper som for mange elever er ukjent (kilowattimer). Det å vurdere hvilken informasjon som er relevant, og hvilke begreper som er en forutsetning å forstå for å kunne løse problemet, er en del av det å gjenkjenne og beskrive matematikken i et problem.

Forskjellen mellom eksempel 3a og 3b er måten arealbegrepet er uttrykt på. I eksempel 3a er begrepet uttrykt eksplisitt. Dette, og at det er oppgitt to tall i eksemplet, gjør at de aller fleste elevene vil klare å matematisere problemet (8 m ∙ 5 m). I eksempel 3b er arealbegrepet uttrykt implisitt gjennom kvadratmeter. For å matematisere dette problemet må elevene selv oversette spørsmålet til at det dreier seg om areal. 

At å gjenkjenne og beskrive er en delferdighet, innebærer også at elevene trenger en undervisning som bidrar til at de utvikler denne delferdigheten, og at utviklingen skjer i takt med de andre delferdighetene.

Ved innføringen av ny læreplan i matematikk ble også kjerneelementene, som det viktigste elevene skal lære i faget, tatt i bruk. Et av kjerneelementene er modellering og anvendelse, der matematisk modellering er definert som en beskrivelse av virkeligheten i matematikkens språk. Elevene skal utvikle kompetanse i å utvikle egne modeller, forstå andres modeller og forstå hvordan matematiske modeller blir brukt til å beskrive dagliglivet. Det å vurdere om disse modellene er gyldige i lys av situasjonen de beskriver, kommer også inn under kjerneelementet. Beskrivelsen av kjerneelementet er helt i tråd med den helhetlige problemløsningsmodellen som brukes for å beskrive delferdighetene i den grunnleggende ferdigheten å kunne regne. Å utvikle elevenes ferdighet i å matematisere kontekster er sentrale deler av både den grunnleggende ferdigheten å kunne regne og faget matematikk.

Ved å fjerne et ensidig fokus på riktig svar i matematikkoppgaver kan man fremme utviklingen av å gjenkjenne og beskrive. En måte å gjøre det på er å avklare løsningen på oppgaven tidlig i arbeidet, for deretter å fokusere på hvorfor løsningen er som den er.

Etter at elevene har gjenkjent og beskrevet et problem, blir neste steg å løse det matematiske problemet, som kan være for eksempel et regneuttrykk.

Å bruke og bearbeide forutsetter at elevene har prosedyreferdigheter, for eksempel når de skal behandle regneuttrykk. For noen har det å utføre beregninger vært sett på som synonym for den grunnleggende ferdigheten å kunne regne. Å kunne utføre beregninger er viktig, men er altså bare en del av det å kunne regne som grunnleggende ferdighet. 

For at elevene skal kunne utføre beregninger nøyaktig og effektivt, er det viktig at de har et utvalg av strategier å velge mellom. Selv om nasjonal prøve i regning ikke måler hvilke strategier elevene bruker, legger oppgavene opp til at de kan løses ved hjelp av ulike strategier. Det finner vi bred støtte for i læreplanen i matematikk, og derfor er det viktig at elevene møter en undervisning som legger til rette for at de skal utvikle gode og effektive strategier. Lykkes vi med det, unngår vi for eksempel at elevene løser alle multiplikasjonsstykker med samme strategi. Det vil være lite formålstjenlig å regne ut hvor mye bursdagshattene i eksempel 2a koster, ved hjelp av standardalgoritmen for multiplikasjon eller gjentatt addisjon. Da er trolig egenskaper i posisjonssystemet med at hvert siffer i et tall representerer en tierpotens, og at når vi multipliserer tall med 10, blir alle sifrene 10 ganger så mye verdt, en mer effektiv strategi. På samme måte vil subtraksjonstykkene 763 – 251 og 314 – 98 kanskje ha ulike strategier som kan betegnes som formålstjenlige? 

Hva som er formålstjenlige strategier, vil variere fra situasjon til situasjon og fra person til person. Det er derfor viktig at undervisningen legger opp til at elevene skal bli kjent med ulike strategier, både strategier som elevene har utviklet selv, og strategier som andre har utviklet. Standardalgoritmene er blitt utviklet over lang tid. Det er krevende å forstå dem fordi mange av de matematiske egenskapene er blitt forenklet i stadige tilpasninger for å gjøre algoritmene så effektive som mulig. I de stadige effektiviseringene av algoritmene er de matematiske egenskapene blitt mer og mer skjult. Når elevene skal bruke algoritmene, må de matematiske egenskapene gjøres synlige, og elevene vil trenge tid for å forstå dem. Det viktigste er å forstå algoritmen, ikke å huske den.

En mulig måte å gjøre elevene kjent med ulike strategier på kan være at elevene skal løse problemer på flere forskjellige måter. Her kan oppgaver fra nasjonale prøver i regning være et fint utgangspunkt. 

I nasjonale prøver i regning er det færrest oppgaver som er knyttet til delferdigheten reflektere og vurdere. Delferdigheten er imidlertid en viktig del av det som testes i nasjonale prøver, men det er relativt få oppgaver der elevenes hovedutfordringer er å reflektere og vurdere, som er kriteriet for kategoriseringen. En av årsakene til det er at vi ikke med sikkerhet kan si om en elev som løser en oppgave riktig, har reflektert og vurdert, eller om det riktige svaret kommer av at eleven har gjenkjent og beskrevet og brukt og bearbeidet problemet riktig. 

Å reflektere og vurdere innebærer å kunne vurdere om svaret på et regnestykke er et sannsynlig svar på spørsmålet som er stilt. I likhet med de andre delferdighetene må også elevene få en undervisning som utvikler denne delferdigheten. Vi legger ofte opp til at elevene først skal gjenkjenne og beskrive et problem, så bruke og bearbeide og til slutt reflektere og vurdere. Vi kan snu om på denne arbeidsgangen ved å sette sterkere fokus på å reflektere og vurdere før vi begynner med å utføre beregninger. Spørsmål som «hvilket intervall tror vi svaret ligger mellom?» eller «er det noen alternativ vi med sikkerhet kan utelukke?», kan være en nyttig innfallsvinkel.

I flere oppgaver i nasjonale prøver skal elevene reflektere og vurdere over hvilke målstørrelser som er sannsynlige ut fra en kontekst. Et eksempel på en slik oppgave er gjengitt nedenfor. 

For å kunne løse en slik oppgave må elevene ha forståelse av de ulike måleenhetene og prefiksene. Det hjelper ikke nødvendigvis å kunne gjøre om 170 mm til 17 cm til 1,7 dm og 0,17 m – elevene må kunne relatere disse størrelsene til noe. Hvor høye er de selv? Hvor lang er en bil? Hvor lang er en fotballbane? Å stille slike spørsmål, og bruke aktiviteter der elevene får erfare målstørrelser i praktiske sammenhenger, kan gi elevene referanseverdier som de kan ta fram for å kunne reflektere og vurdere over egne og andres svar. 

Å reflektere og vurdere innebærer også å kunne oversette en matematisk løsning til en virkelig løsning. Tabellen nedenfor viser hvordan den matematiske løsningen 21,5 får ulike virkelige løsninger, avhengig av konteksten. 

I oppgave 13 NP5 2022 skal elevene gjenkjenne og beskrive en sammensatt kontekst. De får oppgitt hva to brus og tre beger popcorn og hva én brus og ett beger popcorn koster, og skal matematisere denne situasjonen for å finne ut hva ett beger popcorn koster. En effektiv måte å matematisere problemet på er at Jonas har kjøpt dobbelt av hva Emma har gjort, samt ett beger popcorn til.

Som analysene viser, har en stor andel elever utfordringer med å gjenkjenne hvordan de skal komme fram til to ulike delpriser når de bare får oppgitt totalsummer. Mange elever behandler brus og popkorn som enheter med like priser. De kunne ha oppdaget feilsvar ved å gå tilbake til den opprinnelige situasjonen etter at de hadde gjort beregningene sine, og sjekket om svaret passer med informasjonen som var gitt som utgangspunkt. Det kan være en vurdering som elever med riktig svar har gjort, noe som er vanskelig for oss å vite, men som kan komme fram i en plenumsdiskusjon i klassen.

I oppgave 16 NP8 2022 skal elevene gjenkjenne og beskrive ut fra en kontekst om gjennomsnitt. I motsetning til mange andre oppgaver om gjennomsnitt skal ikke elevene beregne et gjennomsnitt av et tallmateriale, men beregne et tallmateriale som gir gjennomsnitt 120. Det gjør at oppgaven i liten grad tester regneprosedyrer, men heller forståelse av et sentralt matematisk begrep som vi også benytter ofte daglig og i samfunnslivet.

Som analysene viser, mangler trolig en stor del av elevene denne forståelsen. De høyfrekvente feilsvarene samstemmer godt med kjente misoppfatninger elever kan ha når det gjelder gjennomsnitt, som at summen av verdiene blir gjennomsnittet (i eksemplet 20, 20, 20), og at alle verdiene tilsvarer gjennomsnittet (120, 120, 120). 

Nettsiden MatteLIST, som er utviklet av Matematikksenteret, har mange aktiviteter som stiller store krav til elevene når det gjelder å gjenkjenne og beskrive, ved å utfordre elevene på deres forståelse av matematiske begreper.

Aktivitetene nedenfor dreier seg om elevenes tenkning om likninger, at symboler kan representere ukjente, og lar elevene reflektere over egne svar på samme måte som i oppgave 13 NP5 2022:

• Uoppstilte likninger
• Figur pluss figur  
• Figur ganger figur

Aktivitetene nedenfor utfordrer elevenes forståelse av gjennomsnittbegrepet, på lignende måte som i oppgave 16 NP8 2022: 

• For fattig og rik  
• Fjern et tall

 Her finner du flere MatteLIST-aktiviteter om gjennomsnitt (Mattelist.no)

Å gjenkjenne og beskrive et problem handler ofte om å utvikle et matematisk uttrykk som gir svar på problemet. I mange tilfeller blir det å gjenkjenne og beskrive noe elevene gjør som en prosess før de kommer til tallsvaret på problemet. Men ved å formulere spørsmålet noe annerledes kan vi sørge for at det matematiske uttrykket blir svaret på problemet, slik som eksemplet nedenfor viser. Det er fra den nasjonale prøven i regning for 5. trinn 2021, og viser en spørsmålsstilling som fokusere ekstra på delferdigheten gjenkjenne og beskrive. 

Som beskrevet tidligere innebærer det å bruke og bearbeide blant annet å velge formålstjenlig strategi for å utføre beregninger. Denne aktiviteten fokuserer på å synliggjøre ulike strategier som kan benyttes for å løse en oppgave. 

Eksemplet nedenfor er fra den nasjonale prøven i regning for 8. og 9. trinn 2021.

For å fokuser mer på ulike strategier kan det være en idé å slå fast at et regnestykke for å løse oppgaven er 75 ∙ 3 + 125 ∙ 4, og at Frøya til sammen har tjent 725 kr. 

Den videre aktiviteten kan organiseres som en IGP-prosess, der elevene arbeider individuelt (I), i gruppe (G) og i plenum (P). Nedenfor er det skissert noen mulige rammer for IGP-prosessen, med utgangspunkt i samtaletypen åpen strategideling, som du kan lese mer om her (PDF). 

Individuelt 

• Undersøk om du kan løse 75 ∙ 3 + 125 ∙ 4 ved hjelp av ulike strategier. 

Gruppe 

• Hver gruppedeltaker presenterer en strategi som oppgaven kan løses ved hjelp av, for de øvrige gruppemedlemmene. 
• Velg ut to strategier som flere på gruppa tenker kan være fornuftig å bruke i lignende oppgaver.
• Hvorfor stemmer strategien dere har valgt? 
• Stemmer den alltid? 
• Når er strategien formålstjenlig? 

Plenum 

• Hver gruppe velger ut en strategi som de deler med resten av gruppene, og reflekterer rundt denne strategien. 

Det er viktig at den som leder aktiviteten, har forutsett ulike strategier som kan være både formålstjenlige og ikke formålstjenlige, før elevene arbeider med aktiviteten. 

For å utfordre elevene til å reflektere og vurdere over hva som kan være forventet svar i oppgaver, kan flervalgsoppgaver fra nasjonale prøver i regning egne seg godt.

Oppgaven nedenfor er en eksempeloppgave til nasjonale prøver i regning for 8. og 9. trinn. 

 Mulige spørsmål som kan være aktuelle å stille elevene i en slik oppgave, kan være: 

• Hvor mange kilogram tror dere en voksen katt kan bli? 
• Er det noen alternativ som dere kan utelukke? 
• Hvordan kan elevene som har svart de ulike alternativene, ha tenkt? 
• Vet dere om noe som er like mange kilogram som de ulike alternativene? 

For å sikre at elevene reflekterer og vurderer rundt oppgaven, kan det være lurt å ta bort setningen «Den er 100 g». Den kan legges til mot slutten av aktiviteten, slik at elevene kan støtte refleksjonene sine med beregninger.

Å reflektere og vurdere inngår som en naturlig del i arbeidet med samtlige kompetansemål i matematikk, uten at det er tydelig uttrykt i kompetansemålene. Nedenfor er to eksempler på det.