Hva er modellering?

Modelleringsprosessen starter med et virkelig problem fra den virkelige verdenen.

Matematisk modell

Å beskrive virkeligheten med matematisk språk kalles en matematisk modell. Modellen er en forenkling av den komplekse og uoversiktlige virkeligheten, og modellering i matematikk handler derfor om å løse problemer fra den virkelige verdenen. Elevene må forstå, ta valg, forenkle og oversette problemene i den virkelige verdenen til den matematiske verdenen. I den matematiske verdenen løser elevene problemene. Så går de tilbake til den virkelige verdenen for å vurdere om modellene og løsningene er gyldige. Kort fortalt er altså modellering i matematikk å arbeide i den virkelige verdenen og i den matematiske verdenen, og å bevege seg mellom dem (Ferri, 2018).

Modelleringsprosessen

Blum og Leiss (2007), Ferri (2018) og Maaß, (2006) har laget visualiseringer av modelleringsprosessen. Ved å kombinere disse med den helhetlige problemløsningsmodellen (Matematikksenteret, u.å.), har vi laget en representasjon som passer godt i norske klasserom (se Figur 1).

Figur 1 viser sammenhengen mellom den virkelige verdenen og den matematiske verdenen i modelleringsprosessen. De røde pilene viser det elevene må gjøre, og sekskantene illustrerer steg de kommer til i prosessen.

Modelleringsprosessen starter med et virkelig problem fra den virkelige verdenen. Elevene må forstå og forenkle problemet. Det vil si at de må ta valg og gjøre antakelser for at de skal kunne håndtere problemet og lage en virkelig modell. Når elevene tallfester den virkelige modellen, kalles det å matematisere. Den matematiske modellen kan for eksempel bestå av tekst, tall, tabeller og/eller tegninger. Deretter arbeider elevene matematisk ved å gjøre beregningene de trenger for å komme frem til en matematisk løsning. De må så tolke den matematiske løsningen opp mot det virkelige problemet for å komme fram til den tolkede løsningen. Det innebærer å oversette den matematiske løsningen tilbake til den virkelige verdenen. I siste fase i prosessen må elevene validere løsningen sin. De må vurdere om løsningen kan være en løsning på det virkelige problemet. Det virkelige problemet er både start- og endepunkt i modelleringsprosessen.

Selv om representasjonen kan oppleves som enkel og lineær, er modelleringsprosessen uoversiktlig. Elevene beveger seg ikke fra punkt til punkt i en slik prosess, men frem og tilbake og på kryss og tvers (Ferri, 2018). Figur 1 viser dette med de små, grå pilene. Elevene kan med andre ord bevege seg mellom den matematiske verdenen og den virkelige verdenen flere ganger i samme problem. De kan også gå flere runder i prosessen for å forbedre eller endre modellen sin.

Modelleringsoppgave

Et eksempel på en modelleringsoppgave er: Hvor mye koster det å spise «fem om dagen» i ei uke? fra MatteLIST. I modelleringsprosessen er dette det virkelige problemet. Elevene må selv forstå og forenkle ved å finne ut hva det vil si å spise «fem om dagen», hva som bør inngå og hvor mye frukt og grønt koster. I tillegg kan de ta egne valg som for eksempel hva de liker å spise, at de vil unngå matsvinn eller at de vil holde seg under en bestemt sum. Basert på dette, lager elevene en virkelig modell. Den er en forenklet versjon av virkeligheten basert på elevenes valg og antakelser, og resten av modelleringsprosessen bør være tett knyttet til disse valgene og antakelsene. Noen elever vil begynne å systematisere skriftlig, for eksempel ved å lage en ukeplan med fem frukter og grønnsaker for hver dag.

Mange elever synes at forstå og forenkle er en spesielt utfordrende del av modelleringsprosessen (Berget, Løvgren & Pettersen, 2024). De er vant til å møte oppgaver der alle forutsetninger er gitt og alle opplysninger er tilgjengelige. Derfor er det krevende å løse problemer der de selv må ta valg og gjøre avgrensninger. Ifølge Berget (2022) er det få oppgaver i lærebøkene som gir elevene mulighet til å få erfaring med denne delen av modelleringsprosessen. Det kan være en forklaring på hvorfor elever synes forstå og forenkle er vanskelig. De har rett og slett for få erfaringer. Hammer (2024) finner fra 2015 til 2021 en økning i antall oppgaver som krever at elevene tar egne valg og gjør egne avgrensninger, noe som kan gi elevene flere erfaringer med modellering. Men læreren kan også gjøre egne grep som å endre oppgaver fra læreboka, for eksempel å fjerne informasjon, eller å finne gode modelleringsoppgaver fra andre kilder, for eksempel på Matematikksenterets modelleringssider. På den måten kan elevene få varierte erfaringer med hele modelleringsprosessen.

Når elevene har laget sin virkelige modell, skal de matematisere for å lage en matematisk modell. Hvis de har lest at tre av fem bør være grønnsaker, kan det hende de lager en tabell som inneholder 21 grønnsaker og 14 frukter med tilhørende priser. Hvis de er opptatt av pris, kan det hende de lager en ukeplan hvor de tar utgangspunkt i store pakker med frukt og grønt med lav kilogrampris, som de så fordeler utover hele uka. Eller hvis de har funnet ut at en porsjon tilsvarer 100 gram, kan det hende at de undersøker hvor mye ulike frukter og grønnsaker veier, og lager sju kombinasjoner som veier 500 gram hver. Den matematiske modellen bør stemme med valgene og antakelsene elevene gjorde i begynnelsen.

Deretter arbeider elevene matematisk, for eksempel ved å regne ut hvor mye det de har valgt av frukt og grønt vil koste. Tall-svaret de får er den matematiske løsningen. I modelleringsprosessen befinner elevene seg da i den matematiske verdenen, og det ligner på det elevene ofte gjør når de løser vanlige matematikkoppgaver. I denne modelleringsoppgaven kan elevene for eksempel få bruk for kompetanse innen tall, regnearter, måling, målenheter, å lage tabeller og å tegne diagrammer.

Når elevene tolker den matematiske løsningen og knytter tall-svaret til at det er antall kroner de mener det vil koste å spise «fem om dagen», er de tilbake i den virkelige verdenen i modelleringsprosessen. Mange elever anser seg som ferdig når de har funnet et svar som de kan sette to streker under. Men når de arbeider med modelleringsoppgaver, må de alltid validere løsningene sin. Det innebærer for eksempel å vurdere om svaret de har fått kan stemme, om løsningsmetoden er gyldig, om modellen har noen begrensninger eller om de bør endre noen av valgene eller antakelsene. Om elevene har kommet fram til at det vil koste ca. 600 kr om én person skal spise «fem om dagen» i ei uke, så kan de for eksempel sjekke hva gjennomsnittsprisen da blir per frukt/grønt eller per kilogram, og vurdere om det kan stemme med virkeligheten. Og om de ikke har tatt hensyn til hvor stor del av frukten/grønnsakene som er spiselig, kan de vurdere om de skal endre modellen sin slik at den også tar hensyn til det. I denne delen av modelleringsprosessen må elevene argumentere for at modellen og løsningen de har kommet fram til passer med det virkelige problemet.

Dette blogginnlegget har stått på trykk som artikkel i Tangenten nr. 01/2025